09. Расположите в порядке возрастания чисел: а) \(3\sqrt{3},\ 2\sqrt{6},\ \sqrt{29},\ 4\sqrt{2},\ 2\sqrt{11}\); б) \(6\sqrt{2},\ \sqrt{58},\ 3\sqrt{7},\ 2\sqrt{14},\ 5\sqrt{3}\); в) \(-\sqrt{11},\ -2\sqrt{5},\ \sqrt{2},\ -2\sqrt{6},\ -\sqrt{51}\); г) \(-\sqrt{83},\ -9\sqrt{2},\ -\sqrt{17},\ -5\sqrt{8},\ -\frac{1}{3}\sqrt{18}\).

Для сравнения положительных чисел с корнями можно сравнить их квадраты. Отрицательные числа упорядочиваем с учётом того, что большее значение под корнем после смены знака даёт меньшее число.

1. а) Квадраты чисел: \(27, 24, 29, 32, 44\). Поэтому порядок возрастания: \(2\sqrt{6},\ 3\sqrt{3},\ \sqrt{29},\ 4\sqrt{2},\ 2\sqrt{11}\).
2. б) Квадраты чисел: \(72, 58, 63, 56, 75\). Поэтому порядок возрастания: \(2\sqrt{14},\ \sqrt{58},\ 3\sqrt{7},\ 6\sqrt{2},\ 5\sqrt{3}\).
3. в) Для отрицательных чисел соответствующие положительные значения расположены так: \(\sqrt{51}>2\sqrt{6}>2\sqrt{5}>\sqrt{11}\). С учётом смены знака и того, что \(\sqrt{2}>0\), получаем: \(-\sqrt{51},\ -2\sqrt{6},\ -2\sqrt{5},\ -\sqrt{11},\ \sqrt{2}\).
4. г) Сравниваем модули: \(5\sqrt{8}=\sqrt{200}\), \(9\sqrt{2}=\sqrt{162}\), \(\sqrt{83}\), \(\sqrt{17}\), а \(\frac{1}{3}\sqrt{18}=\sqrt{2}\). В порядке убывания модулей: \(5\sqrt{8},\ 9\sqrt{2},\ \sqrt{83},\ \sqrt{17},\ \frac{1}{3}\sqrt{18}\). Значит, сами отрицательные числа расположены в порядке возрастания так: \(-5\sqrt{8},\ -9\sqrt{2},\ -\sqrt{83},\ -\sqrt{17},\ -\frac{1}{3}\sqrt{18}\).