0 В сосуд со смесью льда и воды доливают воду массой m = 60 г. После установления теплового равновесия лёд в сосуде остаётся, но его масса уменьшается на т₁ = 22,8 г. Удельная теплота плавления льда 2 = 330 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг.°С). Известно, что за время проведения эксперимента растает не весь лёд, находящийся в сосуде. 1. Какое количество теплоты было затрачено на плавление льда? 2. Какова была начальная температура 1 долитой воды? 3. Каков диапазон возможной начальной температуры долитой воды, если абсолютная погрешность измерения массы льда составляет Ат = 0,2 г, а масса долитой воды измерялась с точностью =1% (т. е. могла быть на 1% как больше, так и меньше указанного значения)? Остальные величины известны точно. Решение: Ответ:

1. Количество теплоты, затраченное на плавление льда

Сначала переведём массу льда из граммов в килограммы:

• \[ m_{льда} = 22.8 \text{ г} = 0.0228 \text{ кг} \]

Удельная теплота плавления льда дана в кДж/кг, поэтому переведём её в Дж/кг:

• \[ \lambda = 330 \text{ кДж/кг} = 330 \times 1000 \text{ Дж/кг} = 330000 \text{ Дж/кг} \]

Теперь можем рассчитать количество теплоты, необходимое для плавления льда, по формуле:

• \[ Q = \lambda \times m_{льда} \]

• \[ Q = 330000 \text{ Дж/кг} \times 0.0228 \text{ кг} \]
• \[ Q = 7524 \text{ Дж} \]

Ответ: 7524 Дж

2. Начальная температура долитой воды

Когда лёд тает, он поглощает теплоту. Эту теплоту ему передаёт долитая вода, охлаждаясь. Так как лёд в сосуде остаётся, а его масса уменьшается, это значит, что вся переданная теплота пошла только на плавление этой массы льда. Уравнение теплового баланса выглядит так:

• \[ Q_{воды} = Q_{плавления \ льда} \]

где $$Q_{воды} = c \times m_{воды} \times \Delta T_{воды}$$, а $$Q_{плавления \ льда}$$ мы уже рассчитали.

Масса долитой воды $$m_{воды}$$ равна уменьшению массы льда, то есть $$m_{воды} = 22.8 \text{ г} = 0.0228 \text{ кг}$$.

Удельная теплоёмкость воды $$c = 4200 \text{ Дж/(кг \text{°C})}$$.

Изменение температуры воды $$\Delta T_{воды}$$ равно $$T_{начальная \ воды} - T_{равновесия}$$. Так как в сосуде остаётся лёд, значит, температура равновесия равна 0 °C.

Подставим значения в уравнение:

• \[ c \times m_{воды} \times (T_{начальная \ воды} - 0) = Q_{плавления \ льда} \]
• \[ 4200 \text{ Дж/(кг \text{°C})} \times 0.0228 \text{ кг} \times T_{начальная \ воды} = 7524 \text{ Дж} \]
• \[ 95.76 \text{ Дж/°C} \times T_{начальная \ воды} = 7524 \text{ Дж} \]
• \[ T_{начальная \ воды} = \frac{7524 \text{ Дж}}{95.76 \text{ Дж/°C}} \]
• \[ T_{начальная \ воды} \approx 78.57 \text{ °C} \]

Ответ: приблизительно 78.57 °C

3. Диапазон возможной начальной температуры долитой воды

Теперь учтём погрешности измерений.

Погрешность массы льда:

• \[ \Delta m_{льда} = 0.2 \text{ г} = 0.0002 \text{ кг} \]

Масса льда могла быть как больше, так и меньше на эту величину. Рассчитаем максимальное и минимальное количество теплоты, которое могло быть затрачено на плавление льда:

• \[ m_{льда, макс} = 22.8 + 0.2 = 23.0 \text{ г} = 0.0230 \text{ кг} \]
• \[ m_{льда, мин} = 22.8 - 0.2 = 22.6 \text{ г} = 0.0226 \text{ кг} \]

Максимальная теплота плавления:

• \[ Q_{плавления \ льда, макс} = 330000 \text{ Дж/кг} \times 0.0230 \text{ кг} = 7590 \text{ Дж} \]

Минимальная теплота плавления:

• \[ Q_{плавления \ льда, мин} = 330000 \text{ Дж/кг} \times 0.0226 \text{ кг} = 7458 \text{ Дж} \]

Погрешность массы долитой воды:

Масса долитой воды измерялась с точностью 1%. Номинальная масса долитой воды равна массе растаявшего льда, то есть $$m_{воды} = 22.8 \text{ г} = 0.0228 \text{ кг}$$.

• \[ \Delta m_{воды} = 1 \% \text{ от } 0.0228 \text{ кг} = 0.01 \times 0.0228 \text{ кг} = 0.000228 \text{ кг} \]

Максимальная масса долитой воды:

• \[ m_{воды, макс} = 0.0228 + 0.000228 = 0.023028 \text{ кг} \]

Минимальная масса долитой воды:

• \[ m_{воды, мин} = 0.0228 - 0.000228 = 0.022572 \text{ кг} \]

Теперь рассчитаем диапазон начальной температуры воды, используя максимальные и минимальные значения теплоты и массы воды.

Случай 1: Минимальная температура воды (максимальная теплота, минимальная масса воды)

Чтобы температура воды была минимальной, нужно, чтобы она отдала максимальное количество теплоты ($$Q_{плавления \ льда, макс}$$), а сама при этом была максимально тяжёлой ($$m_{воды, макс}$$), чтобы для передачи этой теплоты потребовалось большее охлаждение.

• \[ Q_{плавления \ льда, макс} = c \times m_{воды, макс} \times (T_{начальная \ воды, мин} - 0) \]
• \[ 7590 \text{ Дж} = 4200 \text{ Дж/(кг \text{°C})} \times 0.023028 \text{ кг} \times T_{начальная \ воды, мин} \]
• \[ 7590 \text{ Дж} = 96.7176 \text{ Дж/°C} \times T_{начальная \ воды, мин} \]
• \[ T_{начальная \ воды, мин} = \frac{7590}{96.7176} \text{ °C} \approx 78.47 \text{ °C} \]

Случай 2: Максимальная температура воды (минимальная теплота, максимальная масса воды)

Чтобы температура воды была максимальной, нужно, чтобы она отдала минимальное количество теплоты ($$Q_{плавления \ льда, мин}$$), а сама при этом была минимально тяжёлой ($$m_{воды, мин}$$), чтобы для передачи этой теплоты потребовалось меньшее охлаждение.

• \[ Q_{плавления \ льда, мин} = c \times m_{воды, мин} \times (T_{начальная \ воды, макс} - 0) \]
• \[ 7458 \text{ Дж} = 4200 \text{ Дж/(кг \text{°C})} \times 0.022572 \text{ кг} \times T_{начальная \ воды, макс} \]
• \[ 7458 \text{ Дж} = 94.8024 \text{ Дж/°C} \times T_{начальная \ воды, макс} \]
• \[ T_{начальная \ воды, макс} = \frac{7458}{94.8024} \text{ °C} \approx 78.67 \text{ °C} \]

Ответ: Диапазон возможной начальной температуры долитой воды составляет примерно от 78.47 °C до 78.67 °C.