1.030. Плоскости α и β пересекаются по прямой a. Через точку A прямой a проведена плоскость γ, не содержащая прямую a. Докажите, что плоскость γ пересекает плоскости α и β по двум различным прямым.

Обозначим прямые пересечения плоскости γ с плоскостями α и β через l и m соответственно.

1. Плоскости γ и α имеют общую точку A. Они не совпадают, поскольку α содержит прямую a, а γ не содержит её. Значит, они пересекаются по прямой l, проходящей через A.
2. Аналогично, плоскости γ и β имеют общую точку A и не совпадают, поэтому пересекаются по прямой m, проходящей через A.
3. Предположим, что l и m совпадают. Тогда эта прямая лежит и в α, и в β, а значит, лежит в их пересечении a. Поскольку l — прямая, получаем l = a. Но l лежит в γ, следовательно, γ содержит a — противоречие условию.

Ответ: γ пересекает α и β по двум различным прямым.