1.048. Пусть PABC — тетраэдр. Постройте его сечение плоскостью (MEK), если: а) точки M, K и E принадлежат рёбрам соответственно PA, PB и AC так, что AM : MP = 3 : 1, BK : KP = 1 : 2, AE : EC = 1 : 6; б) точки M и E лежат на медианах PH и CF тетраэдра соответственно, а K — середина ребра PC.

Сечение строим по пересечениям плоскости с гранями тетраэдра. В обоих случаях полученная фигура — четырёхугольник.

а) Обозначим через N точку пересечения сечения с ребром BC.

1. В грани PAB точки M и K лежат на рёбрах PA и PB, поэтому сторона сечения — MK.
2. В грани PBC продолжим MK до пересечения с BC в точке N. По теореме Менелая для треугольника PBC и секущей KМN:
   \(\dfrac{PK}{KB}\cdot\dfrac{BN}{NC}\cdot\dfrac{CM}{MP}=1\) здесь применять нельзя: M не лежит на стороне PC. Вместо этого используем координаты относительно вершин тетраэдра. Нормируем \(P=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1)\). Тогда \(M=(1/4,0,0)\), \(K=(0,2/3,0)\), \(E=(0,0,1/7)\). Плоскость через эти точки имеет уравнение \(4x+ frac32y+7z=1\).
3. На ребре BC имеем \(x=0\), поэтому \( frac32y+7z=1\); получаем \(N=BC\cap(MEK)\). На ребре PC получаем точку \(Q=PC\cap(MEK)\). Сечение проходит по граням через точки M, K, N, Q.

б) Пусть H — середина AB, а F — середина AB, то есть основания соответствующих медиан PH и CF. Зададим координаты \(P=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1)\). Тогда \(H=(1/2,1/2,0)\), \(F=(1/2,1/2,1)\), а середина PC — \(K=(0,0,1/2)\). Так как M лежит на PH, запишем \(M=tH\); E лежит на CF, запишем \(E=(1/2,1/2,s)\). Положение M и E на медианах не задано, поэтому точные точки пересечения плоскости (MEK) с рёбрами и конкретный чертёж однозначно определить нельзя.

Для завершения пункта б) нужны положения M и E на медианах (например, отношения PM:MH и CE:EF) либо рисунок с дополнительными отметками.