1.066. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб с ребром 1. Точка Q — центр грани ABCD, точка M — центр грани BCC₁B₁, точка P — центр грани ABB₁A₁, точка K — центр грани A₁B₁C₁D₁. Найдите длины отрезков: а) MQ; б) MP; в) BK; г) AC₁; д) MA₁.

Зададим координаты вершин куба: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), а верхним вершинам соответствует координата \(z=1\). Тогда \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

Координаты центров граней: \(Q(\frac12,\frac12,0)\), \(M(1,\frac12,\frac12)\), \(P(\frac12,0,\frac12)\), \(K(\frac12,\frac12,1)\).

1. \(MQ=\sqrt{(1-\frac12)^2+(\frac12-\frac12)^2+(\frac12-0)^2}=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}.\)
2. \(MP=\sqrt{(1-\frac12)^2+(\frac12-0)^2+(\frac12-\frac12)^2}=\frac{\sqrt2}{2}.\)
3. \(BK=\sqrt{(1-\frac12)^2+(0-\frac12)^2+(0-1)^2}=\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2}.\)
4. \(AC_1=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt3.\)
5. \(MA_1=\sqrt{(1-0)^2+(\frac12-0)^2+(\frac12-1)^2}=\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2}.\)

Ответ: а) \(\frac{\sqrt2}{2}\); б) \(\frac{\sqrt2}{2}\); в) \(\frac{\sqrt6}{2}\); г) \(\sqrt3\); д) \(\frac{\sqrt6}{2}\).