1.1. (ОБЗ) В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N – середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1N и СМ перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой СМ. Найдите расстояние от точки С до плоскости α, если B1N=6.

Решение:

а) Доказательство перпендикулярности прямых B₁N и СМ:

Пусть ребро куба равно \( a \). Введём систему координат. Пусть вершина \( A \) имеет координаты \( (0, 0, 0) \). Тогда:

• \( A = (0, 0, 0) \)
• \( B = (a, 0, 0) \)
• \( D = (0, a, 0) \)
• \( A_1 = (0, 0, a) \)
• \( B_1 = (a, 0, a) \)
• \( C = (a, a, 0) \)
• \( M \) — середина \( AB \), следовательно \( M = (a/2, 0, 0) \)
• \( N \) — середина \( AD \), следовательно \( N = (0, a/2, 0) \)

Найдем векторы \( СМ \) и \( B_1N \):

• \( СМ = M - C = (a/2 - a, 0 - a, 0 - 0) = (-a/2, -a, 0) \)
• \( B_1N = N - B_1 = (0 - a, a/2 - 0, 0 - a) = (-a, a/2, -a) \)

Проверим скалярное произведение векторов \( СМ \) и \( B_1N \):

• \( СМ · B_1N = (-a/2) · (-a) + (-a) · (a/2) + 0 · (-a) = a^2/2 - a^2/2 + 0 = 0 \)

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \( СМ \) и \( B_1N \) перпендикулярны. Следовательно, прямые \( B_1N \) и \( СМ \) перпендикулярны.

б) Нахождение расстояния от точки С до плоскости α:

Плоскость \( α \) проходит через точки \( N \) и \( B_1 \) параллельно прямой \( СМ \). Так как \( B_1N \) перпендикулярна \( СМ \) (из пункта а), то \( B_1N \) перпендикулярна и плоскости \( α \). Следовательно, расстояние от точки \( B_1 \) до плоскости \( α \) равно 0, а расстояние от точки \( N \) до плоскости \( α \) равно 0. Плоскость \( α \) проходит через \( N \) и \( B_1 \) и является параллельной \( СМ \).

Найдем длину ребра куба, используя данные \( B_1N = 6 \).

• \( B_1 = (a, 0, a) \)
• \( N = (0, a/2, 0) \)
• \( B_1N^2 = (0-a)^2 + (a/2-0)^2 + (0-a)^2 = a^2 + a^2/4 + a^2 = 2a^2 + a^2/4 = (9a^2)/4 \)
• \( B_1N = √((9a^2)/4) = 3a/2 \)
• Дано \( B_1N = 6 \), значит \( 3a/2 = 6 → 3a = 12 → a = 4 \).

Длина ребра куба \( a = 4 \).

Плоскость \( α \) содержит прямую \( B_1N \) и параллельна прямой \( СМ \). Так как \( B_1N ⊥ СМ \), то \( B_1N ⊥ α \). Найдем уравнение плоскости \( α \).

Вектор нормали к плоскости \( α \) перпендикулярен вектору \( B_1N \). Также плоскость параллельна \( СМ \), значит, вектор \( СМ \) лежит в этой плоскости. Вектор нормали \( ν \) будет перпендикулярен \( B_1N \) и \( СМ \).

\( B_1N = (-4, 2, -4) \), \( СМ = (-2, -4, 0) \). Этот подход может быть сложным.

Рассмотрим другую плоскость, проходящую через \( C \) и перпендикулярную \( B_1N \). Эта плоскость будет параллельна \( α \). Расстояние между этими плоскостями и будет искомым расстоянием.

Вектор \( B_1N = (-a, a/2, -a) = (-4, 2, -4) \). Уравнение плоскости, проходящей через \( C = (4, 4, 0) \) и перпендикулярной \( B_1N \):

• \( -4(x - 4) + 2(y - 4) - 4(z - 0) = 0 \)
• \( -4x + 16 + 2y - 8 - 4z = 0 \)
• \( -4x + 2y - 4z + 8 = 0 \)
• \( 2x - y + 2z - 4 = 0 \)

Это уравнение плоскости, параллельной \( α \) и проходящей через \( C \).

Расстояние от точки \( C=(4, 4, 0) \) до плоскости \( α \) равно расстоянию от \( C \) до плоскости \( 2x - y + 2z - 4 = 0 \).

Расстояние от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) равно \( \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{√(A^2 + B^2 + C^2)} \).

• \( A = 2, B = -1, C = 2, D = -4 \)
• \( x_0 = 4, y_0 = 4, z_0 = 0 \)
• \( \text{Расстояние} = \frac{|2 · 4 + (-1) · 4 + 2 · 0 - 4|}{√(2^2 + (-1)^2 + 2^2)} = \frac{|8 - 4 + 0 - 4|}{√(4 + 1 + 4)} = \frac{|0|}{√(9)} = \frac{0}{3} = 0 \)

Проверим, что плоскость \( α \) не содержит точку \( C \).

Вектор \( B_1N \) является нормалью к плоскости \( α \). Найдем уравнение плоскости \( α \) через точку \( N=(0, a/2, 0) = (0, 2, 0) \) и нормаль \( B_1N = (-4, 2, -4) \). Упростим нормаль, разделив на 2: \( (-2, 1, -2) \).

• Уравнение плоскости \( α \): \( -2(x - 0) + 1(y - 2) - 2(z - 0) = 0 \)
• \( -2x + y - 2 - 2z = 0 \)
• \( 2x - y + 2z + 2 = 0 \)

Теперь найдем расстояние от точки \( C=(4, 4, 0) \) до плоскости \( 2x - y + 2z + 2 = 0 \).

• \( \text{Расстояние} = \frac{|2 · 4 - 1 · 4 + 2 · 0 + 2|}{√(2^2 + (-1)^2 + 2^2)} = \frac{|8 - 4 + 0 + 2|}{√(4 + 1 + 4)} = \frac{|6|}{√(9)} = \frac{6}{3} = 2 \)

Ответ: б) 2.