1.1. Постройте график функции y=5|x-3|-x² +7х-12. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно построить график функции y = 5|x-3| - x² + 7x - 12 и найти такие значения m, при которых горизонтальная линия y = m пересекает график ровно в трех точках.

Шаг 1: Преобразуем функцию.

Рассмотрим два случая для модуля |x-3|:

• Случай 1: x ≥ 3

y = 5(x - 3) - x² + 7x - 12

y = 5x - 15 - x² + 7x - 12

y = -x² + 12x - 27

• Случай 2: x < 3

y = 5(-(x - 3)) - x² + 7x - 12

y = -5(x - 3) - x² + 7x - 12

y = -5x + 15 - x² + 7x - 12

y = -x² + 2x + 3

Шаг 2: Построение графика.

Нам нужно построить параболы y = -x² + 12x - 27 для x ≥ 3 и y = -x² + 2x + 3 для x < 3.

График функции y = -x² + 12x - 27 (для x ≥ 3):

• Вершина параболы находится в точке x = -b/(2a) = -12/(2*(-1)) = 6.
• Значение y в вершине: y = -(6)² + 12(6) - 27 = -36 + 72 - 27 = 9. Вершина: (6, 9).
• При x = 3, y = -(3)² + 12(3) - 27 = -9 + 36 - 27 = 0. Точка (3, 0).

График функции y = -x² + 2x + 3 (для x < 3):

• Вершина параболы находится в точке x = -b/(2a) = -2/(2*(-1)) = 1.
• Значение y в вершине: y = -(1)² + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4. Вершина: (1, 4).
• При x = 3, y = -(3)² + 2(3) + 3 = -9 + 6 + 3 = 0. Точка (3, 0).

Шаг 3: Анализ пересечений с прямой y = m.

Горизонтальная линия y = m будет пересекать график ровно в трех точках в следующих случаях:

• Когда линия проходит через вершину первой параболы (x ≥ 3), но ниже вершины второй параболы (x < 3). Вершина первой параболы находится в (6, 9).
• Когда линия проходит через вершину второй параболы (x < 3) и пересекает первую параболу (x ≥ 3) в двух точках. Вершина второй параболы находится в (1, 4).

Проанализируем по значениям m:

• Если m = 9, линия y = 9 проходит через вершину первой параболы. Она также пересечет вторую параболу в двух точках (так как 9 > 4). Итого 3 точки.
• Если m = 4, линия y = 4 проходит через вершину второй параболы. Она также пересечет первую параболу в двух точках (так как 4 < 9). Итого 3 точки.
• Если m находится между значением вершины второй параболы и точкой пересечения с первой параболой, но ниже значения вершины первой параболы, то будет 3 точки.

Рассмотрим точки пересечения между частями парабол:

-x² + 12x - 27 = -x² + 2x + 3 (при x = 3, оба выражения дают 0)

12x - 2 = 2x + 3

10x = 5

x = 0.5

В точке x=3 обе части графика соединяются, значение функции равно 0.

Вершина первой параболы (x ≥ 3) - (6, 9).

Вершина второй параболы (x < 3) - (1, 4).

Таким образом, линия y = m будет иметь три точки пересечения, когда:

• m = 9 (вершина первой параболы, и две точки на второй)
• m = 4 (вершина второй параболы, и две точки на первой)

Также, если линия проходит через вершину одной параболы и дважды пересекает другую.

Если m = 9, то y = 9. Это вершина первой ветки. Для второй ветки -x² + 2x + 3 = 9 => -x² + 2x - 6 = 0. Дискриминант D = 2² - 4(-1)(-6) = 4 - 24 = -20 < 0. Нет пересечений. То есть, при m = 9 есть только одна точка пересечения (вершина первой параболы). Это не подходит.

Если m = 4, то y = 4. Это вершина второй ветки. Для первой ветки -x² + 12x - 27 = 4 => -x² + 12x - 31 = 0. Дискриминант D = 12² - 4(-1)(-31) = 144 - 124 = 20 > 0. Есть два пересечения. Итого 1 (вершина) + 2 = 3 точки. Итак, m = 4 является одним из решений.

Рассмотрим еще случай, когда линия проходит через точку, где соединяются две части параболы (x=3, y=0). Если m=0, то y=0. Это точка соединения. Для второй ветки -x² + 2x + 3 = 0 => x² - 2x - 3 = 0 => (x-3)(x+1)=0. Корни x=3 и x=-1. Для первой ветки -x² + 12x - 27 = 0 => x² - 12x + 27 = 0 => (x-3)(x-9)=0. Корни x=3 и x=9. Таким образом, при m=0 есть 3 точки: x=-1, x=3, x=9. То есть, m=0 также является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда линия проходит через вершину верхней параболы (m=9) и пересекает нижнюю параболу. Мы выяснили, что при m=9 есть только одна точка. Это не подходит.

Рассмотрим случай, когда линия проходит между вершиной верхней параболы и точкой соединения, или между вершиной нижней параболы и точкой соединения.

График имеет