1—10. Даны координаты вершин пирамиды A₁, A₂, A₃, A₄. Найти: 1) длину [неразборчивый фрагмент]; 2) угол между рёбрами A₁A₂ и A₁A₄; 3) угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃; 4) площадь грани A₁A₂A₃; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой A₁A₂; 7) уравнение плоскости A₁A₂A₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃. Сделать чертёж. A₁(4; 6; 5), A₂(6; 9; 4), A₃(2; 10; 10), A₄(7; 5; 9).

Пункт 1 восстановить нельзя: после слов «длину» закрыто название искомого отрезка. Пришлите, пожалуйста, этот фрагмент изображения целиком. Остальные пункты можно решить по видимым координатам.

Найдём векторы рёбер, исходящие из A₁: \(\overrightarrow{A₁A₂}=(2,3,-1)\), \(\overrightarrow{A₁A₃}=(-2,4,5)\), \(\overrightarrow{A₁A₄}=(3,-1,4)\).

2) Угол между рёбрами A₁A₂ и A₁A₄. Скалярное произведение векторов равно \(2\cdot3+3\cdot(-1)+(-1)\cdot4=-1\). Их длины: \(\sqrt{14}\) и \(\sqrt{26}\). Поэтому \(\cos\varphi=-\frac{1}{\sqrt{364}}\), откуда \(\varphi=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{364}}\right)\approx93.0^\circ\).

3) Угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃. Нормаль к плоскости грани найдём векторным произведением: \(\overrightarrow{A₁A₂}\times\overrightarrow{A₁A₃}=(19,-8,14)\), длина нормали — \(\sqrt{621}\). Для угла \(\alpha\) между прямой и плоскостью \(\sin\alpha=\frac{|\overrightarrow{A₁A₄}\cdot(19,-8,14)|}{|\overrightarrow{A₁A₄}|\sqrt{621}}\). Скалярное произведение равно \(121\), поэтому \(\alpha=\arcsin\frac{121}{\sqrt{26\cdot621}}\approx71.8^\circ\).

4) Площадь грани A₁A₂A₃. Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения двух его сторон: \(S=\frac12\sqrt{19^2+(-8)^2+14^2}=\frac{\sqrt{621}}2\approx12.46\).

5) Объём пирамиды. Объём тетраэдра равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов рёбер: \(V=\frac16\left| (19,-8,14)\cdot(3,-1,4)\right|=\frac{121}{6}\approx20.17\).

6) Уравнения прямой A₁A₂. Направляющий вектор прямой — \((2,3,-1)\), поэтому канонические уравнения: \(\frac{x-4}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-5}{-1}\). Параметрически: \(x=4+2t,\ y=6+3t,\ z=5-t\).

7) Уравнение плоскости A₁A₂A₃. Используем найденную нормаль и точку A₁: \(19(x-4)-8(y-6)+14(z-5)=0\), то есть \(19x-8y+14z-98=0\).

8) Высота из A₄ на грань A₁A₂A₃. Направляющий вектор высоты — нормаль \((19,-8,14)\). Уравнения высоты: \(\frac{x-7}{19}=\frac{y-5}{-8}=\frac{z-9}{14}\); параметрически: \(x=7+19t,\ y=5-8t,\ z=9+14t\). Основание высоты находится пересечением этой прямой с плоскостью грани. Подстановка в уравнение плоскости даёт \(t=-\frac{121}{621}\), поэтому основание высоты \(H\left(\frac{2056}{621},\frac{4073}{621},\frac{3955}{621}\right)\).

Схематический чертёж: