1.115. Докажите, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Пусть в треугольнике ABC медианы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке G. Возьмём координаты A=(0,0), B=(1,0), C=(u,v).

1. Так как A₁ — середина BC, то A₁=((1+u)/2, v/2). Поэтому точка на медиане AA₁, расположенная на расстоянии двух третей пути от A к A₁, имеет координаты G=((1+u)/3, v/3).

2. Середина AC — точка B₁=(u/2, v/2). Точка G лежит и на BB₁: действительно, G=B+(2/3)(B₁−B). Значит, медианы AA₁ и BB₁ пересекаются в G, причём AG:GA₁=BG:GB₁=2:1.

3. Точка пересечения двух медиан уже определена как G. Для середины AB, C₁=(1/2,0), имеем G=C+(2/3)(C₁−C), следовательно, и третья медиана CC₁ проходит через G и делится в отношении 2:1 от вершины.

Ответ: все три медианы пересекаются в одной точке; эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.