1.116. Постройте развёрнутый угол POT и угол SOT, если: а) угол POS вдвое меньше угла SOT; б) угол POS на 80° больше угла SOT; в) угол SOT в 5 раз больше угла POS?

В каждом случае \(\angle POT=180^\circ\), а луч OS делит развёрнутый угол на два смежных угла, поэтому \(\angle POS+\angle SOT=180^\circ\).

1. Пусть \(\angle POS=x\). Тогда \(\angle SOT=2x\).

   \(x+2x=180^\circ\), поэтому \(x=60^\circ\).

   Получаем: \(\angle POS=60^\circ\), \(\angle SOT=120^\circ\).

2. Пусть \(\angle SOT=x\). Тогда \(\angle POS=x+80^\circ\).

   \(x+x+80^\circ=180^\circ\), поэтому \(x=50^\circ\).

   Получаем: \(\angle POS=130^\circ\), \(\angle SOT=50^\circ\).

3. Пусть \(\angle POS=x\). Тогда \(\angle SOT=5x\).

   \(x+5x=180^\circ\), поэтому \(x=30^\circ\).

   Получаем: \(\angle POS=30^\circ\), \(\angle SOT=150^\circ\).

Для построения начертите противоположные лучи OP и OT, затем отложите от луча OP найденный угол \(\angle POS\); второй угол автоматически будет равен указанному значению.

Ответ: а) \(60^\circ\) и \(120^\circ\); б) \(130^\circ\) и \(50^\circ\); в) \(30^\circ\) и \(150^\circ\).