1.117. Внутри прямого угла ABC проведён луч BD. Чему равны углы ABD и DBC, если: а) угол ABD в 4 раза меньше угла DBC; б) угол DBC больше угла ABD на 32°; в) угол ABD в 8 раз больше угла DBC?

Так как угол ABC прямой, то \(\angle ABD+\angle DBC=90^\circ\).

1. Пусть \(\angle ABD=x\). Тогда \(\angle DBC=4x\).

   \(x+4x=90^\circ\), откуда \(5x=90^\circ\), \(x=18^\circ\).

   Следовательно, \(\angle ABD=18^\circ\), \(\angle DBC=72^\circ\).

2. Пусть \(\angle ABD=x\). Тогда \(\angle DBC=x+32^\circ\).

   \(x+x+32^\circ=90^\circ\), откуда \(2x=58^\circ\), \(x=29^\circ\).

   Следовательно, \(\angle ABD=29^\circ\), \(\angle DBC=61^\circ\).

3. Пусть \(\angle DBC=x\). Тогда \(\angle ABD=8x\).

   \(8x+x=90^\circ\), откуда \(9x=90^\circ\), \(x=10^\circ\).

   Следовательно, \(\angle ABD=80^\circ\), \(\angle DBC=10^\circ\).

Ответ: а) \(18^\circ\) и \(72^\circ\); б) \(29^\circ\) и \(61^\circ\); в) \(80^\circ\) и \(10^\circ\).