1.12. В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Угол АСВ равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В окружности с центром \( O \) отрезки \( AC \) и \( BD \) являются диаметрами. Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \).

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, величина дуги \( AB \) равна удвоенной величине угла \( \angle ACB \).

\( \text{Дуга } AB = 2 \cdot \angle ACB \)

\( \text{Дуга } AB = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \)

Угол \( \angle AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AD \).

По условию \( AC \) — диаметр, значит, дуга \( ADC \) составляет 180°.

\( \text{Дуга } AD = 180^{\circ} - \text{Дуга } AB \)

\( \text{Дуга } AD = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \)

Центральный угол \( \angle AOD \) равен величине дуги \( AD \), на которую он опирается.

\( \angle AOD = \text{Дуга } AD \)

\( \angle AOD = 108^{\circ} \)

Ответ: 108°.