1.160. Айнымалының қандай мәнінде теңдік орындалады: 1) √(x⁶) = −x³; 2) √(y⁴) = y²; 3) √(c⁴) = −c²; 4) √(4m⁴ − 4m + 1) = 1 − 2m; 5) √(n⁴ + 6n² + 9) = n² + 3; 6) √((a − 5)²) = 5 − a?

1. \(\sqrt{x^6}=|x^3|\). Теңдік \(|x^3|=-x^3\) тек \(x^3\le0\), яғни \(x\le0\) болғанда орындалады.

2. \(\sqrt{y^4}=|y^2|=y^2\), өйткені \(y^2\ge0\). Сондықтан теңдік барлық нақты \(y\) үшін орындалады.

3. \(\sqrt{c^4}=c^2\). Теңдік \(c^2=-c^2\) болғанда \(2c^2=0\), демек \(c=0\).

4. Түбір астындағы өрнек \((2m^2-1)^2\), сондықтан теңдік \(|2m^2-1|=1-2m\) түріне келеді. Оң жақ теріс емес болуы керек: \(m\le\frac12\). Осы шартпен квадраттаймыз:

   \((2m^2-1)^2=(1-2m)^2\), яғни \((2m^2-1)^2-(1-2m)^2=0\).

   Квадраттар айырымын жіктейміз: \(2m(m-1)(2m^2+2m-2)=0\). Үміткерлер: \(m=0\), \(m=1\), немесе \(m^2+m-1=0\), яғни \(m=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\). \(m\le\frac12\) шартын қанағаттандыратындары: \(0\) және \(\frac{-1-\sqrt5}{2}\). \(m=1\) мен \(\frac{-1+\sqrt5}{2}\) шартқа сай емес.

5. \(n^4+6n^2+9=(n^2+3)^2\), сондықтан \(\sqrt{n^4+6n^2+9}=|n^2+3|=n^2+3\). Теңдік барлық нақты \(n\) үшін орындалады.

6. \(\sqrt{(a-5)^2}=|a-5|\). Теңдік \(|a-5|=-(a-5)\) болғанда, яғни \(a-5\le0\) немесе \(a\le5\) болғанда орындалады.

Жауабы: 1) \(x\le0\); 2) кез келген нақты \(y\); 3) \(c=0\); 4) \(m=0\) немесе \(m=\frac{-1-\sqrt5}{2}\); 5) кез келген нақты \(n\); 6) \(a\le5\).