1.17. Упростите выражение \(1-(m^{1/10}-m^{3/10})(m^{3/5}+m)\cdot\sqrt m\) и найдите его значение при \(m=\sqrt[4]{2^5}\).

Положим \(x=m^{1/10}\). Тогда \(m^{3/10}=x^3\), \(m^{3/5}=x^6\), \(m=x^{10}\), а \(\sqrt m=x^5\).

Раскроем скобки, используя формулу разности кубов:

\((m^{1/10}-m^{3/10})(m^{3/5}+m)\sqrt m=(x-x^3)(x^6+x^{10})x^5=x^7(1-x^2)(1+x^4)=x^7-x^9+x^{11}-x^{13}\).

Следовательно, выражение упрощается до \(1-x^7+x^9-x^{11}+x^{13}\), то есть \(1-m^{7/10}+m^{9/10}-m^{11/10}+m^{13/10}\).

При \(m=\sqrt[4]{2^5}=2^{5/4}\) получаем \(x=m^{1/10}=2^{1/8}\). Поэтому значение равно \(1-2^{7/8}+2^{9/8}-2^{11/8}+2^{13/8}\).

Ответ: \(1-m^{7/10}+m^{9/10}-m^{11/10}+m^{13/10}\); при заданном \(m\) значение равно \(1-2^{7/8}+2^{9/8}-2^{11/8}+2^{13/8}\).