1.176. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{5}{4+\sqrt{11}}+\frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}-\frac{10}{\sqrt{19}+3}$; 2) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.176. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{5}{4+\sqrt{11}}+\frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}-\frac{10}{\sqrt{19}+3}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Бөлімдерді түйіндес көбейткіштерге көбейтіп, иррационалдықтан арылтамыз:
$\displaystyle \frac{5}{4+\sqrt{11}}=4-\sqrt{11},\quad \frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}=\sqrt{19}+\sqrt{11},\quad \frac{10}{\sqrt{19}+3}=\sqrt{19}-3.$
Олай болса, $(4-\sqrt{11})+(\sqrt{19}+\sqrt{11})-(\sqrt{19}-3)=7$.
Жауабы: 7.
Жалпы мүшені түйіндес өрнекке көбейтеміз:
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.$
Сонда қосынды телескопиялық түрде қысқарады:
$(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})=\sqrt{100}-1=9.$
Жауабы: 9.

1.176. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) \(\frac{5}{4+\sqrt{11}}+\frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}-\frac{10}{\sqrt{19}+3}\); 2) \(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}\).