1.177. $a=\frac12\left(m+\frac1m\right),\quad b=\frac12\left(n+\frac1n\right)$ деп алып, өрнекті түрлендіріңдер: 1) $ab-\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}$; 2) $ab+\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.177. $a=\frac12\left(m+\frac1m\right),\quad b=\frac12\left(n+\frac1n\right)$ деп алып, өрнекті түрлендіріңдер: 1)…$ Фото задания

1.177. $a=\frac12\left(m+\frac1m\right),\quad b=\frac12\left(n+\frac1n\right)$ деп алып, өрнекті түрлендіріңдер: 1) $ab-\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}$; 2) $ab+\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}$.

Accepted Answer

Түбірлерді ықшамдау үшін $m\ge1$ және $n\ge1$ деп аламыз. Сонда $\sqrt{a^2-1}=\frac12\left(m-\frac1m\right)$, ал $\sqrt{b^2-1}=\frac12\left(n-\frac1n\right)$.

Айырма квадраттары формуласын қолданамыз:
$\displaystyle ab-\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}=\frac14\left[\left(m+\frac1m\right)\left(n+\frac1n\right)-\left(m-\frac1m\right)\left(n-\frac1n\right)\right]=\frac12\left(\frac mn+\frac nm\right).$
Енді қосындыны түрлендіреміз:
$\displaystyle ab+\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}=\frac14\left[\left(m+\frac1m\right)\left(n+\frac1n\right)+\left(m-\frac1m\right)\left(n-\frac1n\right)\right]=\frac12\left(mn+\frac1{mn}\right).$

Жауабы: 1) $\frac12\left(\frac mn+\frac nm\right)$; 2) $\frac12\left(mn+\frac1{mn}\right)$, мұнда $m,n\ge1$.

1.177. \(a=\frac12\left(m+\frac1m\right),\quad b=\frac12\left(n+\frac1n\right)\) деп алып, өрнекті түрлендіріңдер: 1) \(ab-\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}\); 2) \(ab+\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}\).

Ответ: