1.18. Упростите выражение $1-(m^{1/6}+m^{1/2})(\sqrt[3]{m}-m)m^{1/6}$ и найдите его значение при $m=\sqrt[4]{2^5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.18. Упростите выражение $1-(m^{1/6}+m^{1/2})(\sqrt[3]{m}-m)m^{1/6}$ и найдите его значение при $m=\sqrt[4]{2^5}$.$ Фото задания

1.18. Упростите выражение $1-(m^{1/6}+m^{1/2})(\sqrt[3]{m}-m)m^{1/6}$ и найдите его значение при $m=\sqrt[4]{2^5}$.

Accepted Answer

Положим $x=m^{1/6}$. Тогда $m^{1/2}=x^3$, $\sqrt[3]{m}=x^2$, и множитель $m^{1/6}=x$.

Преобразуем произведение:

$(m^{1/6}+m^{1/2})(\sqrt[3]{m}-m)m^{1/6}=(x+x^3)(x^2-x^6)x=x^4(1+x^2)(1-x^4)$.

Так как $(1+x^2)(1-x^4)=(1+x^2)(1-x^2)(1+x^2)=1-x^4$, получаем произведение $x^4-x^8=m^{2/3}-m^{4/3}$.

Исходное выражение равно $1-m^{2/3}+m^{4/3}$. При $m=2^{5/4}$: $m^{2/3}=2^{5/6}$, $m^{4/3}=2^{5/3}$.

Ответ: $1-m^{2/3}+m^{4/3}$; при заданном $m$ значение равно $1-2^{5/6}+2^{5/3}$.

1.18. Упростите выражение \(1-(m^{1/6}+m^{1/2})(\sqrt[3]{m}-m)m^{1/6}\) и найдите его значение при \(m=\sqrt[4]{2^5}\).

Ответ: