1) (2 б) Обчисліть: arccos 1/2 2) (2 б) Який з виразів не має змісту: A) arccos 0 Б) arccos(π/2) B) arcsin (-π/4) 3) (2 б) Розв'яжіть рівняння sin x = 0,4 4) (2 б) Розв'яжіть рівняння (√3 - 2 sin x) (1 - 2 sin² a) = 0 5) (2 б) Розв'яжіть рівняння sin 3x + sinx = 0 6) (26) Знайдіть корені рівняння sin (3π/2 + 5x) = 1/2, що належать проміжку (π/2; π]

II Варіант

1. Обчисліть: \( \arccos \frac{1}{2} \)

   \( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \), оскільки \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) і \( \frac{\pi}{3} \) належить проміжку \( [0; \pi] \).

   Відповідь: \( \frac{\pi}{3} \).

2. Який з виразів не має змісту:

   Функція \( \arccos x \) має область визначення \( [-1; 1] \).

   \( \arccos 0 = \frac{\pi}{2} \) (вираз має зміст).

   \( \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57 \). Оскільки \( \frac{\pi}{2} > 1 \), то вираз \( \arccos \frac{\pi}{2} \) не має змісту.

   \( \arcsin (-\frac{\pi}{4}) \) має зміст, бо \( -1 \le -\frac{\pi}{4} \le 1 \).

   Відповідь: Б) \( \arccos \frac{\pi}{2} \).

3. Розв'яжіть рівняння \( \sin x = 0,4 \)

   За означенням арксинуса, коренем рівняння \( \sin x = a \) є \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), де \( n \in \mathbb{Z} \).

   Отже, \( x = (-1)^n \arcsin 0,4 + \pi n \), де \( n \in \mathbb{Z} \).

   Відповідь: \( x = (-1)^n \arcsin 0,4 + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

4. Розв'яжіть рівняння \( (\sqrt{3} - 2 \sin x) (1 - 2 \sin^2 a) = 0 \)

   Рівняння розпадається на два:

   1. \( \sqrt{3} - 2 \sin x = 0 \)
      \( 2 \sin x = \sqrt{3} \)
      \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
      \( x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k \), де \( k \in \mathbb{Z} \).
   2. \( 1 - 2 \sin^2 a = 0 \)
      \( 2 \sin^2 a = 1 \)
      \( \sin^2 a = \frac{1}{2} \)
      \( \sin a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)
      \( a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), де \( n \in \mathbb{Z} \).

   Відповідь: \( x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k \) або \( a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), \( k, n \in \mathbb{Z} \).

5. Розв'яжіть рівняння \( \sin 3x + \sin x = 0 \)

   Використаємо формулу суми синусів: \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \).

   \( 2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 0 \)
   \( 2 \sin 2x \cos x = 0 \)

   Отже, \( \sin 2x = 0 \) або \( \cos x = 0 \).

   1. \( \sin 2x = 0 \)
      \( 2x = \pi k \)
      \( x = \frac{\pi k}{2} \), де \( k \in \mathbb{Z} \).
   2. \( \cos x = 0 \)
      \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), де \( n \in \mathbb{Z} \).

   Зауважимо, що \( x = \frac{\pi k}{2} \) включає в себе розв'язки \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) (при \( k=1, 3, 5, ... \) отримуємо \( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ... \)).

   Відповідь: \( x = \frac{\pi k}{2} \), \( k \in \mathbb{Z} \).

6. Знайдіть корені рівняння \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} + 5x \right) = \frac{1}{2} \), що належать проміжку \( (\frac{\pi}{2}; \pi] \)

   Використаємо тригонометричну тотожність \( \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha \).

   Тоді рівняння набуває вигляду: \( -\cos 5x = \frac{1}{2} \), або \( \cos 5x = -\frac{1}{2} \).

   \( 5x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), де \( k \in \mathbb{Z} \).

   \( x = \pm \frac{2\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5} \).

   Розглянемо два випадки:

   1. \( x = \frac{2\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5} = \frac{2\pi + 6\pi k}{15} \).
   2. \( x = -\frac{2\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5} = \frac{-2\pi + 6\pi k}{15} \).

   Тепер знайдемо корені, що належать проміжку \( (\frac{\pi}{2}; \pi] \).

   \( \frac{\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{15} \), \( \pi = \frac{15\pi}{15} \).

   Шукаємо \( x \) у проміжку \( (\frac{7.5\pi}{15}; \frac{15\pi}{15}] \).

   Розглянемо \( x = \frac{2\pi + 6\pi k}{15} \):

   • При \( k=1 \): \( x = \frac{2\pi + 6\pi}{15} = \frac{8\pi}{15} \). \( \frac{7.5\pi}{15} < \frac{8\pi}{15} \le \frac{15\pi}{15} \). Отже, \( x = \frac{8\pi}{15} \) належить проміжку.
   • При \( k=2 \): \( x = \frac{2\pi + 12\pi}{15} = \frac{14\pi}{15} \). \( \frac{7.5\pi}{15} < \frac{14\pi}{15} \le \frac{15\pi}{15} \). Отже, \( x = \frac{14\pi}{15} \) належить проміжку.

   Розглянемо \( x = \frac{-2\pi + 6\pi k}{15} \):

   • При \( k=1 \): \( x = \frac{-2\pi + 6\pi}{15} = \frac{4\pi}{15} \) (не належить проміжку, \( \frac{4\pi}{15} < \frac{7.5\pi}{15} \)).
   • При \( k=2 \): \( x = \frac{-2\pi + 12\pi}{15} = \frac{10\pi}{15} = \frac{2\pi}{3} \). \( \frac{7.5\pi}{15} < \frac{10\pi}{15} \le \frac{15\pi}{15} \). Отже, \( x = \frac{2\pi}{3} \) належить проміжку.

   Відповідь: \( \frac{8\pi}{15}; \frac{2\pi}{3}; \frac{14\pi}{15} \).