1) (2 б) Обчисліть: arcsin 1/2 2) (2 б) Який з виразів не має змісту: A) arcsin π/3 Б) arctg 17 B) arccos (-π/7) 3) (2 б) Розв'яжіть рівняння cos x = 0,4 4) (26) Розв'яжіть рівняння (√2 - 2 cos x) (cos²x - sin²x) = 0 5) (2 б) Розв'яжіть рівняння cos 5x + cosx = 0 6) (26) Знайдіть корені рівняння sin (2x - π/2) = -1/2, що належать проміжку [0; 3π/2]

I Варіант

1. Обчисліть: \( \arcsin \frac{1}{2} \)

   \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \), оскільки \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) і \( \frac{\pi}{6} \) належить проміжку \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).

   Відповідь: \( \frac{\pi}{6} \).

2. Який з виразів не має змісту:

   Функція \( \arcsin x \) має область визначення \( [-1; 1] \). Оскільки \( \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.05 \), то \( \frac{\pi}{3} > 1 \). Тому вираз \( \arcsin \frac{\pi}{3} \) не має змісту.

   Відповідь: A) \( \arcsin \frac{\pi}{3} \).

3. Розв'яжіть рівняння \( \cos x = 0,4 \)

   За означенням арккосинуса, коренем рівняння \( \cos x = a \) є \( x = \pm \arccos a + 2\pi k \), де \( k \in \mathbb{Z} \).

   Отже, \( x = \pm \arccos 0,4 + 2\pi k \), де \( k \in \mathbb{Z} \).

   Відповідь: \( x = \pm \arccos 0,4 + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

4. Розв'яжіть рівняння \( (\sqrt{2} - 2 \cos x) (\cos^2 x - \sin^2 x) = 0 \)

   Рівняння розпадається на два:

   1. \( \sqrt{2} - 2 \cos x = 0 \)
      \( 2 \cos x = \sqrt{2} \)
      \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
      \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), де \( k \in \mathbb{Z} \).
   2. \( \cos^2 x - \sin^2 x = 0 \)
      \( \cos(2x) = 0 \)
      \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
      \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), де \( n \in \mathbb{Z} \).

   Об'єднаємо розв'язки. Корені \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \) включають в себе корені \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \).

   Відповідь: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), \( n \in \mathbb{Z} \).

5. Розв'яжіть рівняння \( \cos 5x + \cos x = 0 \)

   Використаємо формулу суми косинусів: \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \).

   \( 2 \cos \frac{5x+x}{2} \cos \frac{5x-x}{2} = 0 \)
   \( 2 \cos 3x \cos 2x = 0 \)

   Отже, \( \cos 3x = 0 \) або \( \cos 2x = 0 \).

   1. \( \cos 3x = 0 \)
      \( 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \)
      \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), де \( k \in \mathbb{Z} \).
   2. \( \cos 2x = 0 \)
      \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
      \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), де \( n \in \mathbb{Z} \).

   Відповідь: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \) або \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), \( k, n \in \mathbb{Z} \).

6. Знайдіть корені рівняння \( \sin \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{1}{2} \), що належать проміжку \( [0; \frac{3\pi}{2}] \)

   Нехай \( y = 2x - \frac{\pi}{2} \). Тоді \( \sin y = -\frac{1}{2} \).

   \( y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) або \( y = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), де \( k \in \mathbb{Z} \).

   Підставимо назад \( y = 2x - \frac{\pi}{2} \):

   1. \( 2x - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
      \( 2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
      \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \).
   2. \( 2x - \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \)
      \( 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi + 7\pi}{6} + 2\pi k = \frac{10\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \)
      \( x = \frac{5\pi}{6} + \pi k \).

   Тепер знайдемо корені, що належать проміжку \( [0; \frac{3\pi}{2}] \).

   Для \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \):

   • При \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \) (належить проміжку).
   • При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \) (належить проміжку).

   Для \( x = \frac{5\pi}{6} + \pi k \):

   • При \( k=0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \) (належить проміжку).
   • При \( k=1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6} \) (не належить проміжку, \( \frac{11\pi}{6} > \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \)).

   Відповідь: \( \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} \).