1. (2 балла) Вычислите значение cos a, tg a, ctga, если sin a = 4/5 , π < a < 3π/2

Решение:

Нам дано: \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Из условия \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) следует, что угол \( \alpha \) находится в третьем квадранте. В третьем квадранте синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдём \( \cos \alpha \):
   Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
   \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} \]
   Так как \( \alpha \) в третьем квадранте, \( \cos \alpha < 0 \).
   \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \]
2. Найдём \( \operatorname{tg} \alpha \):
   Используем формулу: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
   \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = -\frac{4}{3} \]
3. Найдём \( \operatorname{ctg} \alpha \):
   Используем формулу: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \) или \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \>.
   \[ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{4}{3} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{3}{4} \).