1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 =

Решение:

Это сумма дробей, где знаменатели имеют вид \( n(n+1) \) или близко к нему. Разложим каждую дробь:

\( \frac{1}{20} = \frac{1}{4 \cdot 5} \)

\( \frac{1}{30} = \frac{1}{5 \cdot 6} \)

\( \frac{1}{42} = \frac{1}{6 \cdot 7} \)

\( \frac{1}{56} = \frac{1}{7 \cdot 8} \)

\( \frac{1}{72} = \frac{1}{8 \cdot 9} \)

\( \frac{1}{90} = \frac{1}{9 \cdot 10} \)

\( \frac{1}{110} = \frac{1}{10 \cdot 11} \)

Применим формулу для суммы вида \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \).

\( \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \)

\( \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \)

\( \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \)

\( \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \)

\( \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \)

\( \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \)

\( \frac{1}{10 \cdot 11} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \)

Суммируем все разложенные дроби (это телескопическая сумма, где средние члены сокращаются):

\[ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{11} \]

Теперь приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{4} - \frac{1}{11} = \frac{11}{44} - \frac{4}{44} = \frac{7}{44} \]

Ответ: \( \frac{7}{44} \).