1) 20^(x+1) > 5^(2x) * 2^(4x)

Решение:

Данное неравенство:

\[ 20^{x+1} > 5^{2x} \cdot 2^{4x} \]

Представим основание 20 как произведение $$5 \cdot 4$$:

\[ (5 \cdot 4)^{x+1} > 5^{2x} \cdot 2^{4x} \]

Применим свойство степеней \( (ab)^n = a^n b^n \):

\[ 5^{x+1} \cdot 4^{x+1} > 5^{2x} \cdot 2^{4x} \]

Заменим $$4$$ на $$2^2$$:

\[ 5^{x+1} \cdot (2^2)^{x+1} > 5^{2x} \cdot 2^{4x} \]

Применим свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \):

\[ 5^{x+1} \cdot 2^{2(x+1)} > 5^{2x} \cdot 2^{4x} \]
\[ 5^{x+1} \cdot 2^{2x+2} > 5^{2x} \cdot 2^{4x} \]

Разделим обе части неравенства на $$5^{2x}$$ (так как $$5^{2x} > 0$$, знак неравенства не меняется):

\[ \frac{5^{x+1}}{5^{2x}} \cdot 2^{2x+2} > 2^{4x} \]

Применим свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 5^{(x+1)-2x} \cdot 2^{2x+2} > 2^{4x} \]
\[ 5^{1-x} \cdot 2^{2x+2} > 2^{4x} \]

Разделим обе части неравенства на $$2^{2x+2}$$ (так как $$2^{2x+2} > 0$$, знак неравенства не меняется):

\[ 5^{1-x} > \frac{2^{4x}}{2^{2x+2}} \]

Применим свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 5^{1-x} > 2^{4x - (2x+2)} \]
\[ 5^{1-x} > 2^{4x - 2x - 2} \]
\[ 5^{1-x} > 2^{2x-2} \]

Представим $$2x-2$$ как $$2(x-1)$$:

\[ 5^{1-x} > 2^{2(x-1)} \]

Перепишем $$2^{2(x-1)}$$ как $$(2^2)^{x-1} = 4^{x-1}$$:

\[ 5^{1-x} > 4^{x-1} \]

Заметим, что $$1-x = -(x-1)$$. Используя свойство \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), получим:

\[ \frac{1}{5^{x-1}} > 4^{x-1} \]

Умножим обе части на $$5^{x-1}$$ (так как $$5^{x-1} > 0$$, знак неравенства не меняется):

\[ 1 > 4^{x-1} \cdot 5^{x-1} \]

Применим свойство степеней \( a^n b^n = (ab)^n \):

\[ 1 > (4 \cdot 5)^{x-1} \]
\[ 1 > 20^{x-1} \]

Чтобы \( 20^{x-1} \) было меньше \( 1 \), показатель степени \( x-1 \) должен быть отрицательным, так как основание \( 20 \) больше \( 1 \).

\[ x-1 < 0 \]

Решим полученное линейное неравенство:

\[ x < 1 \]

Таким образом, решение неравенства — все действительные числа, меньшие единицы.

Ответ: \( x < 1 \).