1. (2012, C2) Спортсмен стартует из точки A, движется равноускоренно вплоть до точки B, а затем бежит с постоянной скоростью вдоль точки C. Участок BC — полуокружность. Модули ускорения спортсмена на участках AB и BC равны. Найти отношение времён, затраченных спортсменом на пути AB и BC.

Пусть спортсмен стартует из состояния покоя, длина участка AB равна \(L\), радиус полуокружности BC — \(R\), а модуль ускорения на AB — \(a\). Обозначим скорость в точке B через \(v\).

1. На участке AB применяем формулу равноускоренного движения из состояния покоя: \(v^2=2aL\).
2. На полуокружности скорость постоянна, поэтому ускорение центростремительное: \(a_{BC}=\dfrac{v^2}{R}\). По условию \(a_{BC}=a\), следовательно, \(v^2=aR\).
3. Время движения по AB: \(t_{AB}=\dfrac{v}{a}\). Длина полуокружности равна \(\pi R\), поэтому \(t_{BC}=\dfrac{\pi R}{v}\).
4. Находим отношение, используя \(v^2=aR\): \(\dfrac{t_{AB}}{t_{BC}}=\dfrac{v^2}{a\pi R}=\dfrac{1}{\pi}\).

Ответ: \(t_{AB}:t_{BC}=1:\pi\).