1.21. y = 3 * sqrt(x) + 4/x^5 + cbrt(x^2) - 7/x.

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = 3 \sqrt{x} + \frac{4}{x^5} + \sqrt[3]{x^2} - \frac{7}{x} \), преобразуем её к виду с дробными степенями:

\( y = 3x^{1/2} + 4x^{-5} + x^{2/3} - 7x^{-1} \)

Теперь продифференцируем каждый член функции по отдельности, используя правило степени \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \):

1. Производная от \( 3x^{1/2} \): \( 3 \cdot \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{3}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} \)
2. Производная от \( 4x^{-5} \): \( 4 \cdot (-5) x^{-5 - 1} = -20 x^{-6} = -\frac{20}{x^6} \)
3. Производная от \( x^{2/3} \): \( \frac{2}{3} x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3} x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)
4. Производная от \( -7x^{-1} \): \( -7 \cdot (-1) x^{-1 - 1} = 7 x^{-2} = \frac{7}{x^2} \)

Сложим производные всех членов:

\( y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{20}{x^6} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{7}{x^2} \)

Или, используя отрицательные степени:

\( y' = \frac{3}{2}x^{-1/2} - 20x^{-6} + \frac{2}{3}x^{-1/3} + 7x^{-2} \)

Ответ: \( y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{20}{x^6} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{7}{x^2} \).