1.25 Решите задачу. Найдите кратчайший путь на полочке Куба (рис. 2.2) из точки K в точку L: а) который проходит через точку M; б) который не проходит через точку M; в) который равен протяжённости ребра куба KL.

На рисунке дана развёртка куба, но длина его ребра не указана. Обозначим её через \(a\). Кратчайший путь по поверхности куба можно найти, развернув грани, по которым проходит путь, в плоскость.

а) Путь через точку M. Точки K и M — вершины одного ребра, поэтому кратчайший путь от K до M равен \(a\). От M до L, если развернуть соответствующие грани, получается диагональ квадрата со стороной \(a\), равная \(a\sqrt{2}\). Искомая длина: \(a+a\sqrt{2}\).

б) Путь, не проходящий через точку M. Развернём две грани, прилегающие к ребру KL. В развёртке K и L окажутся вершинами прямоугольника со сторонами \(a\) и \(2a\). Кратчайший путь — его диагональ: \(\sqrt{a^2+(2a)^2}=a\sqrt{5}\).

в) Ребро KL имеет длину \(a\). Путь из K в L, равный ребру, — само ребро KL.

Численные значения найти нельзя: на рисунке не задана длина ребра куба.

Ответ: а) \(a(1+\sqrt{2})\); б) \(a\sqrt{5}\); в) ребро KL длиной \(a\). Для численных ответов нужна длина ребра куба.