1.27. Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти: а) перемещение тела как функцию времени, r(t); б) средний вектор скорости за первые t секунд и за все время движения.

Выберем начало координат в точке броска, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально вверх. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Угол броска обозначим через α.

а) Перемещение как функция времени

Начальная скорость имеет составляющие:

\[v_{0x}=v_0\cos\alpha,\qquad v_{0y}=v_0\sin\alpha.\]

По горизонтали движение равномерное, по вертикали — равноускоренное:

\[x(t)=v_0\cos\alpha\,t,\qquad y(t)=v_0\sin\alpha\,t-\frac{gt^2}{2}.\]

Следовательно, вектор перемещения:

\[\vec r(t)=v_0\cos\alpha\,t\,\vec i+\left(v_0\sin\alpha\,t-\frac{gt^2}{2}\right)\vec j.\]

б) Средний вектор скорости за первые t секунд

Средняя скорость равна отношению перемещения за данный промежуток времени к его длительности:

\[\vec v_{\text{ср}}(t)=\frac{\vec r(t)-\vec r(0)}{t}=\frac{\vec r(t)}{t}.\]

Поэтому

\[\vec v_{\text{ср}}(t)=v_0\cos\alpha\,\vec i+\left(v_0\sin\alpha-\frac{gt}{2}\right)\vec j.\]

Время всего полёта до возвращения на исходный уровень находится из условия \(y(T)=0\):

\[T=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}.\]

Дальность полёта:

\[R=v_0\cos\alpha\,T=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.\]

За всё время движения вертикальное перемещение равно нулю, поэтому

\[\vec v_{\text{ср,全}}=\frac{R\vec i}{T}=v_0\cos\alpha\,\vec i.\]

Ответ: \(\vec r(t)=v_0\cos\alpha\,t\,\vec i+\left(v_0\sin\alpha\,t-\frac{gt^2}{2}\right)\vec j\); за первые \(t\) секунд \(\vec v_{\text{ср}}=v_0\cos\alpha\,\vec i+\left(v_0\sin\alpha-\frac{gt}{2}\right)\vec j\); за всё время полёта \(\vec v_{\text{ср,全}}=v_0\cos\alpha\,\vec i\).