1) $$3\sqrt[10]{x-3} + \sqrt[5]{x-3} = 4$$;

Решение:

• Обозначим $$y = \sqrt[10]{x-3}$$. Тогда $$y^2 = (\sqrt[10]{x-3})^2 = \sqrt[5]{x-3}$$.
• Уравнение примет вид: $$3y + y^2 = 4$$.
• Перенесем все в одну сторону: $$y^2 + 3y - 4 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение:
• Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$.
• $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$.
• $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$.
• Вернемся к замене:
• Случай 1: $$y = 1$$. $$\sqrt[10]{x-3} = 1$$. Возведем обе части в 10-ю степень: $$x-3 = 1^{10}$$, $$x-3 = 1$$, $$x = 4$$.
• Случай 2: $$y = -4$$. $$\sqrt[10]{x-3} = -4$$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, этот случай не имеет решений.

Финальный ответ:

Ответ: $$x=4$$