1/3 x^2 - 1/2 x - 1 = 0

Решение:

Для решения квадратного уравнения \( \frac{1}{3} x^2 - \frac{1}{2} x - 1 = 0 \) приведём его к стандартному виду \( ax^2 + bx + c = 0 \). Для этого умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

\[ 6 \cdot \left( \frac{1}{3} x^2 - \frac{1}{2} x - 1 \right) = 6 \cdot 0 \]

\[ 2 x^2 - 3 x - 6 = 0 \]

Теперь определим коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = -6 \).

Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 9 + 48 = 57 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + \sqrt{57}}{4} \]

\[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - \sqrt{57}}{4} \]

Ответ: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{57}}{4}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{57}}{4} \).