1-30. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах результаты проверить дифференцированием. 0. a) integral from x of (root(3)(4+ln x))/x dx; B) integral of (x^3-6)/(x^4+6x^2+8) dx; 6) integral of x*ln^2(x) dx; r) integral of 1/(sin x + cos x) dx

Решение:

a) \( \int \frac{\sqrt[3]{4 + \ln x}}{x} dx \)

1. Сделаем замену: \( u = 4 + \ln x \), тогда \( du = \frac{1}{x} dx \).
2. Подставим в интеграл: \( \int \sqrt[3]{u} du \)
3. Проинтегрируем: \( \int u^{1/3} du = \frac{u^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} + C = \frac{u^{4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{4} u^{4/3} + C \)
4. Вернёмся к переменной x: \( \frac{3}{4} (4 + \ln x)^{4/3} + C \)

Проверка дифференцированием:

\( \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{4} (4 + \ln x)^{4/3} + C \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (4 + \ln x)^{4/3 - 1} \cdot \frac{1}{x} = (4 + \ln x)^{1/3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sqrt[3]{4 + \ln x}}{x} \). Результат совпадает с подынтегральной функцией.

б) \( \int \frac{x^3 - 6}{x^4 + 6x^2 + 8} dx \)

1. Разложим знаменатель на множители. Замена \( t = x^2 \): \( t^2 + 6t + 8 = (t + 2)(t + 4) \).
2. Значит, \( x^4 + 6x^2 + 8 = (x^2 + 2)(x^2 + 4) \).
3. Используем метод неопределённых коэффициентов для разложения на простейшие дроби: \( \frac{x^3 - 6}{(x^2 + 2)(x^2 + 4)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 4} \)
4. Умножаем обе стороны на \( (x^2 + 2)(x^2 + 4) \): \( x^3 - 6 = (Ax + B)(x^2 + 4) + (Cx + D)(x^2 + 2) \)
5. Раскрываем скобки: \( x^3 - 6 = Ax^3 + 4Ax + Bx^2 + 4B + Cx^3 + 2Cx + Dx^2 + 2D \)
6. Группируем по степеням x: \( x^3 - 6 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (4A+2C)x + (4B+2D) \)
7. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

• \( x^3: A + C = 1 \)
• \( x^2: B + D = 0 \) => \( D = -B \)
• \( x^1: 4A + 2C = 0 \) => \( 2A + C = 0 \) => \( C = -2A \)
• \( x^0: 4B + 2D = -6 \) => \( 2B + D = -3 \)

Подставляем \( C = -2A \) в \( A + C = 1 \): \( A - 2A = 1 \) => \( -A = 1 \) => \( A = -1 \).

Тогда \( C = -2(-1) = 2 \).

Подставляем \( D = -B \) в \( 2B + D = -3 \): \( 2B - B = -3 \) => \( B = -3 \).

Тогда \( D = -(-3) = 3 \).

Получаем разложение: \( \frac{-x - 3}{x^2 + 2} + \frac{2x + 3}{x^2 + 4} \).

Интегрируем по частям:

\( \int \frac{-x - 3}{x^2 + 2} dx = -\int \frac{x}{x^2 + 2} dx - 3 \int \frac{1}{x^2 + 2} dx \)

Для \( -\int \frac{x}{x^2 + 2} dx \): замена \( t = x^2 + 2 \), \( dt = 2x dx \) => \( x dx = \frac{1}{2} dt \). \( -\int \frac{1}{t} \frac{1}{2} dt = -\frac{1}{2} \ln|t| = -\frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) \).

Для \( -3 \int \frac{1}{x^2 + 2} dx \): \( -3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) \).

\( \int \frac{2x + 3}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2x}{x^2 + 4} dx + 3 \int \frac{1}{x^2 + 4} dx \)

Для \( \int \frac{2x}{x^2 + 4} dx \): замена \( t = x^2 + 4 \), \( dt = 2x dx \). \( \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| = \ln(x^2 + 4) \).

Для \( 3 \int \frac{1}{x^2 + 4} dx \): \( 3 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \).

Собираем всё вместе:

\( -\frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) - \frac{3}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \ln(x^2 + 4) + \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \).

6) \( \int x \ln^2 x dx \)

1. Используем интегрирование по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \)
2. Пусть \( u = \ln^2 x \) и \( dv = x dx \).
3. Тогда \( du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx \) и \( v = \frac{x^2}{2} \).
4. Подставляем в формулу: \( \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \int \frac{x^2}{2} \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \int x \ln x dx \)
5. Снова интегрируем по частям \( \int x \ln x dx \):
• Пусть \( u = \ln x \) и \( dv = x dx \).
• Тогда \( du = \frac{1}{x} dx \) и \( v = \frac{x^2}{2} \).
• \( \int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C_1 \).
6. Подставляем результат обратно: \( \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right) + C \)
7. Упрощаем: \( \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C \)

r) \( \int \frac{1}{\sin x + \cos x} dx \)

1. Умножим числитель и знаменатель на \( \frac{1}{\sqrt{2}} \):
2. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \)
3. Интеграл становится: \( \int \frac{1}{\sin(x + \frac{\pi}{4})} dx \)
4. Это интеграл от косеканса: \( \int \csc(u) du = \ln \left| \tan \left( \frac{u}{2} \right) \right| + C \)
5. В нашем случае \( u = x + \frac{\pi}{4} \).
6. \( \int \frac{1}{\sin(x + \frac{\pi}{4})} dx = \ln \left| \tan \left( \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} \right) \right| + C = \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \right| + C \)

Ответ:

a) \( \frac{3}{4} (4 + \ln x)^{4/3} + C \)

б) \( -\frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) - \frac{3}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \ln(x^2 + 4) + \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \)

6) \( \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C \)

r) \( \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \right| + C \)