1.37. Теплоход, двигаясь по Ладожскому озеру, прошел на восток 30 км, затем свернул под углом 45° на северо-восток и прошел еще 20 км, последние 20 км он двигался строго на север. Найдите путь, пройденный теплоходом, и модуль перемещения. Начертите в удобном масштабе траекторию движения.

Дано:

• движение на восток — 30 км;
• движение на северо-восток под углом 45° к восточному направлению — 20 км;
• движение на север — 20 км.

1. Пройденный путь

Путь равен сумме длин всех участков траектории:

\[s=30+20+20=70\text{ км}.\]

2. Модуль перемещения

Разложим второй участок на составляющие по направлениям восток—запад и север—юг:

\[x=30+20\cos45^\circ=30+10\sqrt2\text{ км},\]

\[y=20\sin45^\circ+20=20+10\sqrt2\text{ км}.\]

По теореме Пифагора:

\[|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(30+10\sqrt2)^2+(20+10\sqrt2)^2}.\]

\[|\vec r|=\sqrt{1700+1000\sqrt2}\text{ км}\approx55.8\text{ км}.\]

Траектория движения (масштаб: примерно 1 см соответствует 10 км):

Ответ: путь — 70 км; модуль перемещения — \(\sqrt{1700+1000\sqrt2}\approx55.8\) км.