1.49. Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников: а) по двум катетам; б) по катету и гипотенузе; в) по катету и прилежащему острому углу; г) по гипотенузе и острому углу.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

а) По двум катетам:

Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (это следует из второго признака равенства треугольников).

б) По катету и гипотенузе:

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Это следует из теоремы Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), откуда \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\). Зная гипотенузу \(c\) и катет \(b\), мы можем найти второй катет \(a\). Тогда треугольники равны по двум катетам.

в) По катету и прилежащему острому углу:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Это следует из первого признака равенства треугольников, так как второй острый угол также будет равен (\(90^{\circ} - \alpha\)).

г) По гипотенузе и острому углу:

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Это следует из первого признака равенства треугольников, так как второй острый угол также будет равен (\(90^{\circ} - \alpha\)).

Вывод: Все признаки равенства прямоугольных треугольников следуют из общих признаков равенства треугольников.