1.5. Алгебраическая дробь $$ \frac{2x + 4xy + 7}{3x + y} $$ равна 1 при y = 1. При каком y она будет равна 7?

Решение:

Условие задачи: Алгебраическая дробь \( \frac{2x + 4xy + 7}{3x + y} \) равна 1 при \( y = 1 \). Необходимо найти значение \( y \), при котором дробь равна 7.

1. Шаг 1: Используем первое условие.
   Когда \( y = 1 \), дробь равна 1. Подставим \( y = 1 \) в выражение:
   \[ \frac{2x + 4x(1) + 7}{3x + 1} = 1 \]
   \[ \frac{2x + 4x + 7}{3x + 1} = 1 \]
   \[ \frac{6x + 7}{3x + 1} = 1 \]
   Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на \( 3x + 1 \) (при условии \( 3x + 1 \neq 0 \)):
   \[ 6x + 7 = 3x + 1 \]
   Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую:
   \[ 6x - 3x = 1 - 7 \]
   \[ 3x = -6 \]
   \[ x = \frac{-6}{3} \]
   \[ x = -2 \]
2. Шаг 2: Используем второе условие.
   Теперь нам нужно найти \( y \), при котором дробь равна 7. Мы уже знаем, что \( x = -2 \). Подставим это значение \( x \) в дробь и приравняем её к 7:
   \[ \frac{2(-2) + 4(-2)y + 7}{3(-2) + y} = 7 \]
   \[ \frac{-4 - 8y + 7}{-6 + y} = 7 \]
   \[ \frac{3 - 8y}{y - 6} = 7 \]
3. Шаг 3: Решаем уравнение относительно \( y \).
   Умножим обе части на \( y - 6 \) (при условии \( y - 6 \neq 0 \)):
   \[ 3 - 8y = 7(y - 6) \]
   \[ 3 - 8y = 7y - 42 \]
4. Шаг 4: Приводим подобные члены.
   Перенесём члены с \( y \) в одну сторону, а константы — в другую:
   \[ -8y - 7y = -42 - 3 \]
   \[ -15y = -45 \]
   \[ y = \frac{-45}{-15} \]
   \[ y = 3 \]
5. Проверка:
   Проверим, что \( y - 6 \neq 0 \). \( 3 - 6 = -3 \neq 0 \). Проверим, что \( 3x + 1 \neq 0 \) при \( x = -2 \). \( 3(-2) + 1 = -6 + 1 = -5 \neq 0 \).
   Подставим \( x = -2 \) и \( y = 3 \) в исходную дробь:
   \[ \frac{2(-2) + 4(-2)(3) + 7}{3(-2) + 3} = \frac{-4 - 24 + 7}{-6 + 3} = \frac{-28 + 7}{-3} = \frac{-21}{-3} = 7 \]

Ответ: y = 3.