1.58. Параллелограмның диагональдары: а) өзара перпендикуляр; ә) бұрыштарының биссектрисасы болады деп алып, оның ромб болатынын дәлелдеңдер.

а) Параллелограммның диагональдары қиылысқанда бірін-бірі қақ бөледі. Қиылысу нүктесін O деп белгілейік. Диагональдар перпендикуляр болғандықтан, ∠AOB = ∠BOC = 90°. Үшбұрыштар AOB және COB тікбұрышты; олардың OB катеті ортақ, ал AO = OC. Сондықтан үшбұрыштар тең, демек AB = BC. Параллелограммның қарама-қарсы қабырғалары тең болғандықтан, оның төрт қабырғасы да тең. Олай болса, ол — ромб.

ә) ABCD параллелограмында диагональ AC ∠A бұрышының биссектрисасы болсын. Онда ∠BAC = ∠CAD. AD ∥ BC болғандықтан, ∠CAD = ∠ACB (айқыш ішкі бұрыштар). Демек, ∠BAC = ∠ACB, сондықтан AB = BC. Параллелограммның қарама-қарсы қабырғалары тең болғандықтан, барлық қабырғалары тең; демек, ABCD — ромб. Егер биссектриса BD диагоналі болса, дәл осылай теңбүйірлі үшбұрыштан көршілес қабырғалардың теңдігі шығады.