1. (8 баллов) Упростите выражение: (\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} + 4\sqrt{x}\)) \(\cdot\) \(\left\)\(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right\)

Решение:

Для упрощения выражения сначала приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю:

\[ \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(\sqrt{x}+1)^2 - (\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ (\sqrt{x}+1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 \]

\[ (\sqrt{x}-1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1 \]

Тогда числитель станет:

\[ (x + 2\sqrt{x} + 1) - (x - 2\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x} + 1 - x + 2\sqrt{x} - 1 = 4\sqrt{x} \]

Знаменатель — это разность квадратов:

\[ (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1 \]

Таким образом, первая часть выражения равна:

\[ \frac{4\sqrt{x}}{x-1} \]

Теперь добавим к ней \( 4\sqrt{x} \):

\[ \frac{4\sqrt{x}}{x-1} + 4\sqrt{x} = \frac{4\sqrt{x} + 4\sqrt{x}(x-1)}{x-1} = \frac{4\sqrt{x} + 4x\sqrt{x} - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{4x\sqrt{x}}{x-1} \]

Теперь рассмотрим вторую скобку:

\[ \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 1}{\sqrt{x}} = \frac{x-1}{\sqrt{x}} \]

Теперь умножим результат первой части на результат второй:

\[ \frac{4x\sqrt{x}}{x-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}} \]

Сокращаем \( x-1 \) и \( \sqrt{x} \):

\[ 4x \]

Ответ: 4x.