1.8 В окружности с центром О отрезки АС и BD – диаметры. Центральный угол АОВ равен 65°. Найдите вписанный угол DBC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Угол AOD:

Углы \( \angle AOB \) и \( \angle AOD \) являются смежными, так как AC — диаметр. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB \)

\( \angle AOD = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \)

2. Вписанный угол DBC:

Центральный угол \( \angle DOC \) опирается на ту же дугу, что и вписанный угол \( \angle DBC \).

Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные, значит \( \angle BOC = \angle AOD = 115^{\circ} \).

Углы \( \angle AOB \) и \( \angle DOC \) — вертикальные, значит \( \angle DOC = \angle AOB = 65^{\circ} \).

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC \)

\( \angle DBC = \frac{1}{2} \cdot 65^{\circ} \)

\( \angle DBC = 32.5^{\circ} \)

Ответ: 32.5