1.8. В школьных соревнованиях по шахматам принимали участие 5 учеников Алёна, Богдан, Георгий, Олеся и Елизавета. Соревнования проводилось по круговой системе – каждый участник играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Алёна сыграла с Богданом, Георгием и Елизаветой; Богдан с Алёной и Георгием; Георгий с Алёной и Олесей. Сколько игр проведено к настоящему времени и сколько ещё осталось?

Решение:

В соревнованиях участвуют 5 человек: Алёна (А), Богдан (Б), Георгий (Г), Олеся (О), Елизавета (Е).

По условию, соревнования проводятся по круговой системе, значит, каждый играет с каждым один раз. Общее количество игр можно найти по формуле количества сочетаний из 5 по 2: \( C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 × 4}{2 × 1} = 10 \) игр.

Рассмотрим проведённые игры:

• Алёна сыграла с Богданом (А-Б), Георгием (А-Г) и Елизаветой (А-Е).
• Богдан сыграл с Алёной (уже учтено) и Георгием (Б-Г).
• Георгий сыграл с Алёной (уже учтено), Богданом (уже учтено) и Олесей (Г-О).

Перечислим все уникальные проведённые игры:

1. А-Б
2. А-Г
3. А-Е
4. Б-Г
5. Г-О

Всего проведено 5 игр.

Чтобы найти, сколько игр осталось, вычтем количество проведённых игр из общего количества:

\( 10 - 5 = 5 \) игр.

Ответ: Проведено 5 игр, осталось провести 5 игр.