1/a + 1/a = 3. Вычислите a^2 + 1/a^2.

Решение:

Дано: \( \frac{1}{a} + a = 3 \)

Найти: \( a^2 + \frac{1}{a^2} \)

1. Возведём обе части данного уравнения в квадрат: \( \left( \frac{1}{a} + a \right)^2 = 3^2 \)
2. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: \( \left( \frac{1}{a} \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot a + a^2 = 9 \)
3. Упростим выражение: \( \frac{1}{a^2} + 2 + a^2 = 9 \)
4. Перенесём 2 в правую часть уравнения: \( a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 - 2 \)
5. Вычислим результат: \( a^2 + \frac{1}{a^2} = 7 \)

Ответ: 7.