1. а) Постройте график функции \(y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\); б) укажите промежутки возрастания и убывания функции; в) определите нули функции.

а) Это график \(y=\cos x\), сдвинутый влево на \(\frac{\pi}{3}\). Период функции равен \(2\pi\), область значений — \([-1;1]\).

б) Функция убывает, когда \(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)>0\), и возрастает, когда \(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)<0\). Поэтому:

• возрастает на \(\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\frac{5\pi}{3}+2\pi k\right)\);
• убывает на \(\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{2\pi}{3}+2\pi k\right)\), где \(k\in\mathbb Z\).

в) Нули находятся из условия \(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0\):

\(x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k\), следовательно, \(x=\frac{\pi}{6}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).