1. а) Решите уравнение \(\log_5(2 - x) = \log_{25}x^4\).

Решение:

Для решения уравнения \(\log_5(2 - x) = \log_{25}x^4\) сначала приведём логарифмы к одному основанию. Воспользуемся свойством логарифма \(\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b\).

1. Преобразуем правую часть уравнения: \(\log_{25}x^4 = \log_{5^2}x^4 = \frac{4}{2} \log_5 x = 2 \log_5 x\).
2. Уравнение примет вид: \(\log_5(2 - x) = 2 \log_5 x\).
3. Используем свойство логарифма \(n \log_a b = \log_a b^n\): \(\log_5(2 - x) = \log_5 x^2\).
4. Поскольку основания логарифмов равны, приравняем аргументы: \(2 - x = x^2\).
5. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 + x - 2 = 0\).
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
7. Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]
8. Проверим полученные корни на соответствие области определения логарифмов. Аргументы логарифмов должны быть положительными: \(2 - x > 0\) и \(x^4 > 0\).
9. Для \(x_1 = 1\): \(2 - 1 = 1 > 0\). \(1^4 = 1 > 0\). Корень \(x = 1\) подходит.
10. Для \(x_2 = -2\): \(2 - (-2) = 4 > 0\). \((-2)^4 = 16 > 0\). Корень \(x = -2\) подходит.

Ответ: \(x = 1, x = -2\).