1. а) Вычислите: 27 - 13 ⋅ (-5) б) Вычислите: 1/4 + 5/17 ⋅ 4/15 - 2/8 ⋅ 51/56

Решение:

1. а) Вычисление выражения:
   \( 27 - 13 \cdot (-5) = 27 - (-65) = 27 + 65 = 92 \)
2. б) Вычисление выражения:
   \( \frac{1}{4} + \frac{5}{17} \cdot \frac{4}{15} - \frac{2}{8} \cdot \frac{51}{56} \)
   Первым делом выполняем умножение:
   \( \frac{5}{17} \cdot \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 4}{17 \cdot 15} = \frac{20}{255} = \frac{4}{51} \)
   \( \frac{2}{8} \cdot \frac{51}{56} = \frac{1}{4} \cdot \frac{51}{56} = \frac{51}{224} \)
   Теперь подставляем полученные значения:
   \( \frac{1}{4} + \frac{4}{51} - \frac{51}{224} \)
   Приведём к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4, 51, 224 — это 12096.
   \( \frac{1 \cdot 3024}{4 \cdot 3024} + \frac{4 \cdot 237.17...}{51 \cdot 237.17...} - \frac{51 \cdot 54}{224 \cdot 54} \) — здесь мы видим, что 224 = 4 * 56, а 51 = 3 * 17. Попробуем упростить дроби до вычислений.
   \( \frac{5}{17} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{17} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{51} \)
   \( \frac{2}{8} \cdot \frac{51}{56} = \frac{1}{4} \cdot \frac{51}{56} = \frac{51}{224} \)
   Теперь выражение: \( \frac{1}{4} + \frac{4}{51} - \frac{51}{224} \)
   Приведём к общему знаменателю: \( 4 \cdot 51 \cdot 224 = 45696 \)
   \( \frac{1 \cdot 11424}{45696} + \frac{4 \cdot 896}{45696} - \frac{51 \cdot 216}{45696} = \frac{11424 + 3584 - 10992}{45696} = \frac{14008 - 10992}{45696} = \frac{3016}{45696} \)
   Сократим дробь. Оба числа делятся на 8:
   \( \frac{3016 \div 8}{45696 \div 8} = \frac{377}{5712} \)
   Проверим, делится ли 377 на простые числа. 377 = 13 * 29. Проверим, делится ли 5712 на 13 или 29.
   \( 5712 \div 13 = 439.38... \) — не делится.
   \( 5712 \div 29 = 196.96... \) — не делится.
   Однако, есть ошибка в предыдущих вычислениях. Вернемся к знаменателю.
   \( \frac{1}{4} + \frac{4}{51} - \frac{51}{224} \)
   \( \text{НОК}(4, 51, 224) = \text{НОК}(2^2, 3 \cdot 17, 2^5 \cdot 7) = 2^5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 17 = 32 \cdot 21 \cdot 17 = 672 \cdot 17 = 11424 \)
   \( \frac{1 \cdot 2856}{11424} + \frac{4 \cdot 224}{11424} - \frac{51 \cdot 54}{11424} = \frac{2856 + 896 - 2754}{11424} = \frac{3752 - 2754}{11424} = \frac{998}{11424} \)
   Сократим дробь. Оба числа делятся на 2:
   \( \frac{998 \div 2}{11424 \div 2} = \frac{499}{5712} \)
   499 — простое число. Проверим, делится ли 5712 на 499. \( 5712 / 499 \approx 11.4 \).
   Пересчитаем вторую часть:
   \( \frac{2}{8} \cdot \frac{51}{56} = \frac{1}{4} \cdot \frac{51}{56} \). Здесь 56 = 8 * 7, 4 = 2 * 2. 51 = 3 * 17. Ничего не сокращается.
   \( \frac{51}{224} \)
   \( \frac{1}{4} + \frac{4}{51} - \frac{51}{224} = \frac{1 \cdot 11424/4}{11424} + \frac{4 \cdot 11424/51}{11424} - \frac{51 \cdot 11424/224}{11424} \)
   \( \frac{2856}{11424} + \frac{4 \cdot 224}{11424} - \frac{51 \cdot 54}{11424} = \frac{2856 + 896 - 2754}{11424} = \frac{3752 - 2754}{11424} = \frac{998}{11424} = \frac{499}{5712} \)

Ответ: а) 92; б) 499/5712.