№ 1. А) Заполните пропуски в решении. Дано: ABCD — параллелограмм, E ∈ AB, AE : EB = 3 : 2, a = AB, b = AD (рис. 9.55). Выразить AO и CE через a и b. Б) Дано: ABCD — параллелограмм, AK : KB = 1 : 3, AE : ED = 4 : 1, a = AB, b = AD (рис. 9.56). Выразить CK, CE, KE через a и b. В) Дано: ABCD — параллелограмм, AF : FC = 4 : 1, BM : MC = 1 : 3, N — середина CD, a = AB, b = AD (рис. 9.57). Выразить AF, AM, AN, MF, NF, MN через a и b.

Question

Вопрос:

Фото задания: № 1. А) Заполните пропуски в решении. Дано: ABCD — параллелограмм, E ∈ AB, AE : EB = 3 : 2, a = AB, b = AD (рис. 9.55).…

№ 1. А) Заполните пропуски в решении. Дано: ABCD — параллелограмм, E ∈ AB, AE : EB = 3 : 2, a = AB, b = AD (рис. 9.55). Выразить AO и CE через a и b. Б) Дано: ABCD — параллелограмм, AK : KB = 1 : 3, AE : ED = 4 : 1, a = AB, b = AD (рис. 9.56). Выразить CK, CE, KE через a и b. В) Дано: ABCD — параллелограмм, AF : FC = 4 : 1, BM : MC = 1 : 3, N — середина CD, a = AB, b = AD (рис. 9.57). Выразить AF, AM, AN, MF, NF, MN через a и b.

Accepted Answer

А) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}\). Так как \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), получаем \(\overrightarrow{AO}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\).

Из отношения \(AE:EB=3:2\) следует \(\overrightarrow{BE}=-\frac25\vec a\). Кроме того, \(\overrightarrow{CB}=-\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=-\frac25\vec a-\vec b\).

Б) По отношению \(AK:KB=1:3\): \(\overrightarrow{BK}=-\frac34\vec a\). Так как \(\overrightarrow{CB}=-\vec a\), то \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BK}=-\frac74\vec a\).

Из \(AE:ED=4:1\) получаем \(\overrightarrow{DE}=-\frac15\vec b\); также \(\overrightarrow{CD}=-\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=-\frac65\vec b\).

Так как \(\overrightarrow{KC}=-\overrightarrow{CK}=\frac74\vec a\), имеем \(\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CE}=\frac74\vec a-\frac65\vec b\).

В) Поскольку \(AF:FC=4:1\) и \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), то \(\overrightarrow{AF}=\frac45(\vec a+\vec b)=\frac45\vec a+\frac45\vec b\).

Из \(BM:MC=1:3\) следует \(\overrightarrow{BM}=\frac14\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec a+\frac14\vec b\).

Так как N — середина CD, а \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\), то \(\overrightarrow{CN}=-\frac12\vec a\). Следовательно, \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\frac12\vec a+\vec b\).

Далее, \(\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}=-(\vec a+\frac14\vec b)+\frac45(\vec a+\vec b)=-\frac15\vec a+\frac{11}{20}\vec b\).

\(\overrightarrow{NF}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AF}=-(\frac12\vec a+\vec b)+\frac45(\vec a+\vec b)=\frac3{10}\vec a-\frac15\vec b\).

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-(\vec a+\frac14\vec b)+\frac12\vec a+\vec b=-\frac12\vec a+\frac34\vec b\).

Ответ: А) \(\overrightarrow{AO}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{CE}=-\frac25\vec a-\vec b\). Б) \(\overrightarrow{CK}=-\frac74\vec a\), \(\overrightarrow{CE}=-\frac65\vec b\), \(\overrightarrow{KE}=\frac74\vec a-\frac65\vec b\). В) \(\overrightarrow{AF}=\frac45\vec a+\frac45\vec b\), \(\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac14\vec b\), \(\overrightarrow{AN}=\frac12\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{MF}=-\frac15\vec a+\frac{11}{20}\vec b\), \(\overrightarrow{NF}=\frac3{10}\vec a-\frac15\vec b\), \(\overrightarrow{MN}=-\frac12\vec a+\frac34\vec b\).