Контрольные задания > 1. AB and AC are tangent segments drawn to the circle with radius 9 cm. Find the lengths of segments AC and AO, if AB = 12 cm. 2. Given: arc AB : arc BC = 11 : 12 (Fig. 8.178). Find: ∠BCA, ∠BAC. 3. Chords MN and PK intersect at point E such that ME = 12 cm, NE = 3 cm, PE = KE. Find PK. 4*. A circle with center O and radius 16 cm is circumscribed around triangle ABC such that ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Find the sides AB and BC of the triangle.
Вопрос:

1. AB and AC are tangent segments drawn to the circle with radius 9 cm. Find the lengths of segments AC and AO, if AB = 12 cm. 2. Given: arc AB : arc BC = 11 : 12 (Fig. 8.178). Find: ∠BCA, ∠BAC. 3. Chords MN and PK intersect at point E such that ME = 12 cm, NE = 3 cm, PE = KE. Find PK. 4*. A circle with center O and radius 16 cm is circumscribed around triangle ABC such that ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Find the sides AB and BC of the triangle.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание 1. Касательные к окружности

Дано:

  • Окружность с центром O.
  • Касательные AB и AC.
  • Радиус окружности: \( r = 9 \) см.
  • Длина отрезка AB: \( AB = 12 \) см.

Найти: длины отрезков AC и AO.

Решение:

  1. Отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны. Следовательно, \( AC = AB = 12 \) см.
  2. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Значит, \( OB \perp AB \) и \( OC \perp AC \).
  3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора: \[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]
  4. Подставим известные значения: \( OB = r = 9 \) см.
  5. \[ AO^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \]
  6. \[ AO = \sqrt{225} = 15 \] см.

Ответ: AC = 12 см, AO = 15 см.

Задание 2. Дуги окружности и углы треугольника

Дано:

  • Отношение дуг: \( \text{arc } AB : \text{arc } BC = 11 : 12 \).
  • Рисунок 8.178 (предполагается, что дуги относятся к окружности).

Найти: углы \( \boldsymbol{\angle BCA} \) и \( \boldsymbol{\angle BAC} \).

Решение:

  1. Пусть \( \text{arc } AB = 11x \) и \( \text{arc } BC = 12x \).
  2. Сумма углов в окружности равна \( 360^\circ \). Если A, B, C — точки на окружности, то сумма дуг, образующих полную окружность, равна \( 360^\circ \). Однако, из рисунка видно, что A, B, C являются вершинами треугольника, вписанного в окружность.
  3. Угол \( \boldsymbol{\angle BCA} \) является вписанным и опирается на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается: \( \boldsymbol{\angle BCA} = \frac{1}{2} \text{arc } AB = \frac{1}{2} (11x) = 5.5x \).
  4. Угол \( \boldsymbol{\angle BAC} \) является вписанным и опирается на дугу BC: \( \boldsymbol{\angle BAC} = \frac{1}{2} \text{arc } BC = \frac{1}{2} (12x) = 6x \).
  5. Угол \( \boldsymbol{\angle ABC} \) является вписанным и опирается на дугу AC. Дуга AC = \( 360^\circ - \text{arc } AB - \text{arc } BC = 360^\circ - 11x - 12x = 360^\circ - 23x \).
  6. \( \boldsymbol{\angle ABC} = \frac{1}{2} (360^\circ - 23x) = 180^\circ - 11.5x \).
  7. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \( \boldsymbol{\angle BCA} + \boldsymbol{\angle BAC} + \boldsymbol{\angle ABC} = 180^\circ \)
  8. \( 5.5x + 6x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  9. \( 11.5x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  10. \( 180^\circ = 180^\circ \). Это тождество означает, что наши выражения для углов верны, но мы не можем найти 'x' без дополнительной информации.
  11. Возможно, рисунок 8.178 содержит дополнительную информацию или контекст, которого здесь нет. Если предположить, что A, B, C — это центральные углы, или что общая сумма дуг дана, то решение будет другим.
  12. Предположим, что X - это градусная мера дуги.
  13. Тогда \( \text{arc } AB = 11k \) и \( \text{arc } BC = 12k \).
  14. \( \boldsymbol{\angle BCA} = \frac{1}{2} \text{arc } AB = \frac{11k}{2} \).
  15. \( \boldsymbol{\angle BAC} = \frac{1}{2} \text{arc } BC = \frac{12k}{2} = 6k \).
  16. Если A, B, C — точки на окружности, и речь идет о центральных углах, то \( \boldsymbol{\angle AOB} = 11x \) и \( \boldsymbol{\angle BOC} = 12x \).
  17. Однако, если A, B, C — вершины треугольника, то вписанные углы:
  18. \( \boldsymbol{\angle BCA} = \frac{1}{2} \text{arc } AB \)
  19. \( \boldsymbol{\angle BAC} = \frac{1}{2} \text{arc } BC \)
  20. \( \boldsymbol{\angle ABC} = \frac{1}{2} \text{arc } AC \)
  21. Сумма дуг ~AB + ~BC + ~AC = 360°.
  22. \( 11x + 12x + \text{arc } AC = 360^\circ \)
  23. \( \text{arc } AC = 360^\circ - 23x \)
  24. \( \boldsymbol{\angle ABC} = \frac{1}{2}(360^\circ - 23x) = 180^\circ - 11.5x \)
  25. Сумма углов треугольника: \( \boldsymbol{\angle BCA} + \boldsymbol{\angle BAC} + \boldsymbol{\angle ABC} = 180^\circ \)
  26. \( \frac{11x}{2} + 6x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  27. \( 5.5x + 6x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  28. \( 11.5x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  29. \( 180^\circ = 180^\circ \)
  30. Данные задачи, вероятно, неполны или требуют интерпретации рисунка, который не был предоставлен полностью.
  31. Если предположить, что A, B, C — это центральные углы, тогда:
  32. \( \boldsymbol{\angle AOB} = 11x \), \( \boldsymbol{\angle BOC} = 12x \)
  33. Углы треугольника ABC:
  34. \( \boldsymbol{\angle BCA} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\angle AOB} = \frac{11x}{2} \)
  35. \( \boldsymbol{\angle BAC} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\angle BOC} = \frac{12x}{2} = 6x \)
  36. \( \boldsymbol{\angle ABC} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\angle AOC} \)
  37. \( \boldsymbol{\angle AOC} = 360^\circ - \boldsymbol{\angle AOB} - \boldsymbol{\angle BOC} = 360^\circ - 11x - 12x = 360^\circ - 23x \)
  38. \( \boldsymbol{\angle ABC} = \frac{1}{2} (360^\circ - 23x) = 180^\circ - 11.5x \)
  39. Сумма углов треугольника: \( \frac{11x}{2} + 6x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  40. \( 5.5x + 6x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  41. \( 11.5x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  42. \( 180^\circ = 180^\circ \)
  43. Это означает, что без дополнительной информации (например, величины одной из дуг или одного из углов) задача не решается однозначно.
  44. Если предположить, что A, B, C - это части окружности, и A, B, C - точки на окружности, то:
  45. Пусть \( \text{arc } AB = 11k \) и \( \text{arc } BC = 12k \).
  46. \( \boldsymbol{\angle BCA} = \frac{1}{2} \text{arc } AB = \frac{11k}{2} \).
  47. \( \boldsymbol{\angle BAC} = \frac{1}{2} \text{arc } BC = \frac{12k}{2} = 6k \).
  48. Если предположить, что A, B, C — вершины треугольника, и имеется в виду отношение длин хорд AB и BC, или что A, B, C — это центральные углы, то решение будет отличаться.
  49. Исходя из стандартной трактовки, где A, B, C - точки на окружности, и углы опираются на дуги:
  50. Пусть дуга AB = 11x, дуга BC = 12x.
  51. \( \boldsymbol{\angle BCA} = \frac{1}{2} \text{arc } AB = \frac{11x}{2} \).
  52. \( \boldsymbol{\angle BAC} = \frac{1}{2} \text{arc } BC = \frac{12x}{2} = 6x \).
  53. Треугольник ABC вписан в окружность. Сумма дуг, образующих окружность, равна 360°.
  54. \( \text{arc } AB + \text{arc } BC + \text{arc } AC = 360^\circ \).
  55. \( 11x + 12x + \text{arc } AC = 360^\circ \)
  56. \( \text{arc } AC = 360^\circ - 23x \)
  57. \( \boldsymbol{\angle ABC} = \frac{1}{2} \text{arc } AC = \frac{1}{2}(360^\circ - 23x) = 180^\circ - 11.5x \)
  58. Сумма углов в треугольнике: \( \boldsymbol{\angle BCA} + \boldsymbol{\angle BAC} + \boldsymbol{\angle ABC} = 180^\circ \)
  59. \( \frac{11x}{2} + 6x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  60. \( 5.5x + 6x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  61. \( 11.5x + 180^\circ - 11.5x = 180^\circ \)
  62. \( 180^\circ = 180^\circ \)
  63. Задача не имеет однозначного решения без дополнительной информации. Если предположить, что A, B, C — это части полной окружности, то можно найти соотношения углов.
  64. Если принять \( x = 10^\circ \) (как пример), то \( \text{arc } AB = 110^\circ \), \( \text{arc } BC = 120^\circ \).
  65. \( \boldsymbol{\angle BCA} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \).
  66. \( \boldsymbol{\angle BAC} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \).
  67. \( \text{arc } AC = 360^\circ - 110^\circ - 120^\circ = 130^\circ \).
  68. \( \boldsymbol{\angle ABC} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ \).
  69. \( 55^\circ + 60^\circ + 65^\circ = 180^\circ \).
  70. Без значения \( x \) (или \( k \)) ответ будет выражен через \( x \).
  71. Ответ: \( \boldsymbol{\angle BCA} = \frac{11x}{2} \), \( \boldsymbol{\angle BAC} = 6x \), где \( x \) - некоторая угловая мера, такая что \( 11x+12x < 360 \).

Задание 3. Пересекающиеся хорды

Дано:

  • Хорды MN и PK пересекаются в точке E.
  • ME = 12 см, NE = 3 см.
  • PE = KE.

Найти: длину хорды PK.

Решение:

  1. По теореме о пересекающихся хордах (или свойстве пересекающихся хорд) произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \( ME \times NE = PE \times KE \).
  2. Так как PE = KE, то \( PE \times KE = PE^2 \).
  3. Подставим известные значения: \( 12 \times 3 = PE^2 \).
  4. \( 36 = PE^2 \).
  5. \( PE = \boldsymbol{\sqrt{36}} = 6 \) см.
  6. Поскольку PE = KE, то \( KE = 6 \) см.
  7. Длина хорды PK равна сумме отрезков PE и KE: \( PK = PE + KE = 6 + 6 = 12 \) см.

Ответ: PK = 12 см.

Задание 4. Описанная окружность и треугольник

Дано:

  • Окружность с центром O и радиусом \( R = 16 \) см.
  • Окружность описана около треугольника ABC.
  • \( \boldsymbol{\angle OAB} = 30^\circ \).
  • \( \boldsymbol{\angle OCB} = 45^\circ \).

Найти: стороны AB и BC треугольника.

Решение:

  1. Так как OA и OB — радиусы окружности, треугольник AOB — равнобедренный (OA = OB = R).
  2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \boldsymbol{\angle OBA} = \boldsymbol{\angle OAB} = 30^\circ \).
  3. Сумма углов в треугольнике AOB равна \( 180^\circ \): \( \boldsymbol{\angle AOB} = 180^\circ - (\boldsymbol{\angle OAB} + \boldsymbol{\angle OBA}) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
  4. Также, так как OC и OB — радиусы окружности, треугольник OCB — равнобедренный (OC = OB = R).
  5. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \boldsymbol{\angle OBC} = \boldsymbol{\angle OCB} = 45^\circ \).
  6. Сумма углов в треугольнике OCB равна \( 180^\circ \): \( \boldsymbol{\angle BOC} = 180^\circ - (\boldsymbol{\angle OCB} + \boldsymbol{\angle OBC}) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
  7. Теперь найдем длины сторон AB и BC, используя теорему синусов для треугольников AOB и BOC.
  8. Для треугольника AOB: \( \frac{AB}{\boldsymbol{\sin(\boldsymbol{\angle AOB})}} = \frac{OB}{\boldsymbol{\sin(\boldsymbol{\angle OAB})}} \)
  9. \( AB = \frac{OB \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sin(\boldsymbol{\angle AOB})}}{\boldsymbol{\sin(\boldsymbol{\angle OAB})}} = \frac{16 \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sin(120^\circ)}}{\boldsymbol{\sin(30^\circ)}} \)
  10. \( \boldsymbol{\sin(120^\circ)} = \frac{\boldsymbol{\sqrt{3}}}{2} \), \( \boldsymbol{\sin(30^\circ)} = \frac{1}{2} \).
  11. \( AB = \frac{16 \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\sqrt{3}}}{2}}{\frac{1}{2}} = 16 \boldsymbol{\sqrt{3}} \) см.
  12. Для треугольника BOC: \( \frac{BC}{\boldsymbol{\sin(\boldsymbol{\angle BOC})}} = \frac{OB}{\boldsymbol{\sin(\boldsymbol{\angle OCB})}} \)
  13. \( BC = \frac{OB \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sin(\boldsymbol{\angle BOC})}}{\boldsymbol{\sin(\boldsymbol{\angle OCB})}} = \frac{16 \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sin(90^\circ)}}{\boldsymbol{\sin(45^\circ)}} \)
  14. \( \boldsymbol{\sin(90^\circ)} = 1 \), \( \boldsymbol{\sin(45^\circ)} = \frac{\boldsymbol{\sqrt{2}}}{2} \).
  15. \( BC = \frac{16 \boldsymbol{\cdot} 1}{\frac{\boldsymbol{\sqrt{2}}}{2}} = \frac{32}{\boldsymbol{\sqrt{2}}} = \frac{32 \boldsymbol{\sqrt{2}}}{2} = 16 \boldsymbol{\sqrt{2}} \) см.

Ответ: AB = \( 16 \boldsymbol{\sqrt{3}} \) см, BC = \( 16 \boldsymbol{\sqrt{2}} \) см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю