Контрольные задания
Вопрос:

1. ∠ABC=123°, ∠ABD - ∠CBD = 17°. Найдите ∠ABD и ∠CBD. 2. На рис. три прямые пересекаются в точке О, ∠AOB = 70°, ∠BOC₁ = 30°. Найдите ∠AOC₁, ∠BOA₁. 3. AB=BC, ∠CBD = 50°, AD = 4 см. Найдите ∠ABC и AC.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Привет! Давай разберем эти задачки по геометрии вместе.



Задача 1


Условие: ∠ABC = 123°, ∠ABD - ∠CBD = 17°. Найти ∠ABD и ∠CBD.



Решение:



  1. Составим систему уравнений:

    • Мы знаем, что ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD. Подставим значение ∠ABC:

    • \[ 123° = ∠ABD + ∠CBD \]
    • Также нам дано, что ∠ABD - ∠CBD = 17°. Выразим ∠ABD:

    • \[ ∠ABD = ∠CBD + 17° \]



  2. Подставим во второе уравнение:

    • Теперь подставим выражение для ∠ABD в первое уравнение:

    • \[ 123° = (∠CBD + 17°) + ∠CBD \]
    • \[ 123° = 2 * ∠CBD + 17° \]
    • \[ 123° - 17° = 2 * ∠CBD \]
    • \[ 106° = 2 * ∠CBD \]
    • \[ ∠CBD = \frac{106°}{2} \]
    • \[ ∠CBD = 53° \]



  3. Найдем ∠ABD:

    • Теперь, когда мы знаем ∠CBD, найдем ∠ABD:

    • \[ ∠ABD = ∠CBD + 17° \]
    • \[ ∠ABD = 53° + 17° \]
    • \[ ∠ABD = 70° \]



  4. Проверка:

    • \[ ∠ABD + ∠CBD = 70° + 53° = 123° \]
    • Это соответствует условию ∠ABC = 123°.





Ответ: ∠ABD = 70°, ∠CBD = 53°.



Задача 2


Условие: Три прямые пересекаются в точке О. ∠AOB = 70°, ∠BOC₁ = 30°. Найти ∠AOC₁, ∠BOA₁.



Решение:



  1. Вертикальные углы:

    • Углы ∠AOB и ∠A₁OB₁ являются вертикальными, значит, они равны:

    • \[ ∠A₁OB₁ = ∠AOB = 70° \]
    • Углы ∠BOC₁ и ∠B₁OC являются вертикальными:

    • \[ ∠B₁OC = ∠BOC₁ = 30° \]



  2. Смежные углы:

    • Угол ∠AOC₁ является смежным с углом ∠AOB. Сумма смежных углов равна 180°:

    • \[ ∠AOC₁ + ∠AOB = 180° \]
    • \[ ∠AOC₁ + 70° = 180° \]
    • \[ ∠AOC₁ = 180° - 70° \]
    • \[ ∠AOC₁ = 110° \]

    • Угол ∠BOA₁ является смежным с углом ∠AOB. Сумма смежных углов равна 180°:

    • \[ ∠BOA₁ + ∠AOB = 180° \]
    • \[ ∠BOA₁ + 70° = 180° \]
    • \[ ∠BOA₁ = 180° - 70° \]
    • \[ ∠BOA₁ = 110° \]





Ответ: ∠AOC₁ = 110°, ∠BOA₁ = 110°.



Задача 3


Условие: AB = BC, ∠CBD = 50°, AD = 4 см. Найти ∠ABC и AC.



Решение:



  1. Треугольник ABC:

    • По условию AB = BC, значит, треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании равны:

    • \[ ∠BAC = ∠BCA \]



  2. Угол ∠ABD:

    • Мы знаем, что ∠CBD = 50°.

    • \[ ∠ABD = 180° - ∠CBD \] (так как это смежные углы, если бы точка D лежала на прямой AC, но это не так, D лежит на продолжении AC, тогда ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD. Из рисунка следует, что BD — высота, тогда ∠BDA = 90°)

    • Если BD — высота, то ∠BDA = 90°.

      Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:
      \[ ∠BAD + ∠ABD = 90° \]

      У нас есть ∠CBD = 50°. В равнобедренном треугольнике ABC, высота BD является также и биссектрисой и медианой. Но здесь BD - высота, а не биссектриса угла ABC.

      Вернемся к условию. AB = BC, значит, ∠BAC = ∠BCA. AD = 4 см. ∠CBD = 50°.

      Из рисунка видно, что ∠BDA = 90°. Значит, BD - высота.

      В прямоугольном треугольнике ABD:
      \[ ∠BAD + ∠ABD = 90° \]

      В треугольнике ABC, ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD. Но это неверно, так как D лежит на AC.

      Если BD — высота, то ∠BDC = 90°.

      В треугольнике BDC:
      \[ ∠DBC + ∠BCD = 90° \]

      Нам дан ∠CBD = 50°. Это угол между стороной BC и прямой AD (которая является продолжением AC).

      Если ∠CBD = 50°, то это внешний угол к треугольнику ABC при вершине B, если D лежит на продолжении AC. Но на рисунке D лежит на AC.

      Давайте предположим, что BD — это высота, проведенная из вершины B к основанию AC. Тогда ∠BDA = 90°.

      В прямоугольном треугольнике ABD:
      \[ ∠BAD + ∠ABD = 90° \]

      В равнобедренном треугольнике ABC, высота BD также является биссектрисой и медианой. Это означает, что:

      1. ∠ABD = ∠CBD (если BD — биссектриса)
      2. AD = DC (если BD — медиана)

      Из рисунка видно, что BD — это высота, так как обозначен прямой угол (90°).

      Нам дано ∠CBD = 50°. Это угол между стороной BC и высотой BD.

      В прямоугольном треугольнике BDC:
      \[ ∠BCD + ∠DBC = 90° \]

      Если ∠CBD = 50°, то ∠DBC = 50° (это тот же угол).

      Значит,
      \[ ∠BCD + 50° = 90° \]

      \[ ∠BCD = 90° - 50° \]

      \[ ∠BCD = 40° \]

      Так как треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), то углы при основании равны:

      \[ ∠BAC = ∠BCA = 40° \]

      Теперь найдем угол ∠ABC:

      \[ ∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) \]

      \[ ∠ABC = 180° - (40° + 40°) \]

      \[ ∠ABC = 180° - 80° \]

      \[ ∠ABC = 100° \]

      Теперь найдем длину AC.

      В прямоугольном треугольнике BDC:

      \[ \frac{DC}{\sin(50°)} = \frac{BC}{\sin(90°)} \]

      \[ DC = BC \cdot \sin(50°) \]

      В прямоугольном треугольнике ABD:

      \[ AD = 4 \]

      \[ \frac{AD}{\sin(∠ABD)} = \frac{AB}{\sin(90°)} \]

      \[ 4 = AB \cdot \sin(∠ABD) \]

      Мы знаем, что ∠ABC = 100°. Так как BD — высота и медиана в равнобедренном треугольнике, то она также и биссектриса.

      Значит, ∠ABD = ∠CBD = ∠ABC / 2.

      \[ ∠ABD = 100° / 2 = 50° \]

      Но по условию ∠CBD = 50°, и из рисунка видно, что ∠ABD = ∠CBD. Значит, BD является биссектрисой, а значит, и высотой и медианой.

      Если ∠ABD = 50°, то в прямоугольном треугольнике ABD:

      \[ ∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 50° = 40° \]

      Это соответствует ∠BAC = 40°.

      Теперь найдем AC. Так как BD — медиана, то AD = DC = 4 см.

      \[ AC = AD + DC \]

      \[ AC = 4 + 4 \]

      \[ AC = 8 \]

      Итак, если BD — высота, медиана и биссектриса (что верно для равнобедренного треугольника), то:

      * ∠ABC = 100°
      * AC = 8 см

      Давайте проверим условия: AB = BC, ∠CBD = 50° (это верно, так как BD — биссектриса), AD = 4 см (верно, так как BD — медиана).




Ответ: ∠ABC = 100°, AC = 8 см.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание
Подать жалобу Правообладателю