1) ABCD — параллелограмм. Докажите: MBND — параллелограмм.

Так как точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC, а в параллелограмме ABCD стороны AD и BC параллельны, то MD и BN лежат на параллельных прямых:

\(MD \parallel BN\).

Угол \(A\) параллелограмма равен углу \(C\), поэтому \(\angle BAM=\angle NCD=60^\circ\).

По отметкам на рисунке \(AB=BM\) и \(NC=CD\). Следовательно, треугольники \(ABM\) и \(NCD\) равнобедренные. В каждом из них угол при вершине равен \(60^\circ\), значит, оба треугольника равносторонние:

\(AB=AM=BM\), \(NC=CD=ND\).

В параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны равны: \(AB=CD\). Поэтому \(BM=ND\).

Таким образом, в четырёхугольнике \(MBND\) одна пара противоположных сторон равна и параллельна: \(MD\parallel BN\) и \(MD=BN\) (так как \(AD=BC\) и из равенства соответствующих отрезков \(AM=CN\)). Следовательно, \(MBND\) — параллелограмм.

Ответ: \(MBND\) — параллелограмм.