1. ABCD — параллелограмм (рис. 10.1). Выразите: а) $\overrightarrow{AO}$ через $\overrightarrow{AC}$; б) $\overrightarrow{MN}$ через $\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{OC}$; в) $\overrightarrow{MK}$ через $\overrightarrow{DB},\ \overrightarrow{OD}$; г) $\overrightarrow{MN}$ через $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. ABCD — параллелограмм (рис. 10.1). Выразите: а) $\overrightarrow{AO}$ через $\overrightarrow{AC}$; б)…$ Фото задания

1. ABCD — параллелограмм (рис. 10.1). Выразите: а) $\overrightarrow{AO}$ через $\overrightarrow{AC}$; б) $\overrightarrow{MN}$ через $\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{OC}$; в) $\overrightarrow{MK}$ через $\overrightarrow{DB},\ \overrightarrow{OD}$; г) $\overrightarrow{MN}$ через $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD}$.

Accepted Answer

По отметкам на рисунке точки $M$, $N$, $K$ — середины сторон $AB$, $BC$, $AD$. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения $O$ пополам.

$O$ — середина диагонали $AC$, поэтому $\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}$.
В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон, поэтому $\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{AC}$. Также $O$ — середина $AC$, откуда $\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{AC}$. Следовательно, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OC}$.
В треугольнике $ABD$ точки $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $AD$. Поэтому $\overrightarrow{MK}=\frac12\overrightarrow{BD}=-\frac12\overrightarrow{DB}$. Поскольку $O$ — середина $BD$, $\overrightarrow{OD}=\frac12\overrightarrow{BD}$. Значит, $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{OD}$.
В треугольнике $ABC$, $\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{AC}$. А в параллелограмме $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Следовательно, $\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}$.

Ответ: а) $\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}$; б) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OC}$; в) $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{OD}$; г) $\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}$.