1. ABCD — прямоугольник. Найти: AD. На рисунке AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°; AE делит пополам угол между AB и AE и угол между BE и AE (по одинаковым дугам).

Обозначим через α угол между AB и AE. По рисунку угол между BE и AE также равен α. Так как AB ⟂ BE, получаем 2α = 90°, значит α = 45°.

В треугольнике AED известны углы: ∠EAD = 90° − 45° = 45°, ∠AED = 75°. Тогда ∠ADE = 180° − 45° − 75° = 60°.

По теореме синусов: \(\frac{AD}{\sin 75^\circ}=\frac{ED}{\sin 45^\circ}\). Следовательно, \(AD=6\cdot\frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}=3(\sqrt3+1)\) см.

Ответ: \(AD=3(\sqrt3+1)\) см ≈ 8,20 см.