1. ABCD — прямоугольник. По рисунку M и N лежат на AD, BN и CM — биссектрисы углов B и C. Докажите: BN = CM.

Так как ABCD — прямоугольник, его углы B и C прямые. BN и CM — биссектрисы этих углов, поэтому углы ABN и DCM равны 45°.

Треугольник ABN прямоугольный: ∠BAN = 90°. Значит, ∠ANB = 45°, поэтому AB = AN.

Аналогично треугольник DCM прямоугольный: ∠CDM = 90°. Значит, ∠DMC = 45°, поэтому CD = DM.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, AB = CD. Тогда AN = DM. По теореме Пифагора:

\(BN^2 = AB^2 + AN^2\), а \(CM^2 = CD^2 + DM^2\). Поскольку \(AB = CD\) и \(AN = DM\), получаем \(BN^2 = CM^2\). Длины положительны, значит, \(BN = CM\).

Ответ: \(BN = CM\).