1. ABCD — ромб, AE ⟂ BC, AF ⟂ CD. Докажите, что CE = CF.

Поскольку ABCD — ромб, его стороны равны: BC = CD. Площадь ромба можно выразить через любую сторону и соответствующую высоту:

S = BC · AE = CD · AF.

Так как BC = CD, из равенства площадей следует AE = AF.

Треугольники AEC и AFC прямоугольные: AE ⟂ EC, поскольку E лежит на BC, и AF ⟂ FC, поскольку F лежит на CD. У них общая гипотенуза AC и равные катеты AE и AF, поэтому треугольники равны по гипотенузе и катету. Следовательно, соответствующие стороны равны: CE = CF.