1. ABCDABCD1 — параллелепипед. Тогда В₁D₁ + C₁C + C₁B + AC₁ + CA + A₁D₁ =

Решение:

Векторное равенство, данное в условии:

\( \vec{B_1D_1} + \vec{C_1C} + \vec{C_1B} + \vec{AC_1} + \vec{CA} + \vec{A_1D_1} = ? \)

Применим правило треугольника для сложения векторов:

• \( \vec{AC_1} + \vec{C_1C} = \vec{AC} \)
• \( \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0} \) (векторы противоположны)
• \( \vec{A_1D_1} \) и \( \vec{B_1C_1} \) — противоположные векторы.
• \( \vec{B_1D_1} \) и \( \vec{BD} \) — диагонали соответствующих граней.

Рассмотрим векторы, связанные с параллелепипедом:

\( \vec{A_1D_1} = \vec{AD} \)

\( \vec{B_1C_1} = \vec{BC} \)

\( \vec{C_1B_1} = \vec{CB} = - \vec{BC} \)

\( \vec{D_1C_1} = \vec{DC} = \vec{AB} \)

\( \vec{A_1B_1} = \vec{AB} \)

\( \vec{B_1C_1} = \vec{BC} \)

\( \vec{C_1D_1} = \vec{CD} = - \vec{AB} \)

\( \vec{D_1A_1} = \vec{DA} = - \vec{AD} \)

\( \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} \)

Перепишем исходное выражение, группируя векторы:

\( (\vec{AC_1} + \vec{C_1C}) + \vec{CA} + \vec{B_1D_1} + \vec{C_1B} + \vec{A_1D_1} \)

\( = \vec{AC} + \vec{CA} + \vec{B_1D_1} + \vec{C_1B} + \vec{A_1D_1} \)

Так как \( \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0} \), получаем:

\( = \vec{0} + \vec{B_1D_1} + \vec{C_1B} + \vec{A_1D_1} \)

\( = \vec{B_1D_1} + \vec{C_1B} + \vec{A_1D_1} \)

Учитывая, что \( \vec{C_1B} = - \vec{BC} \) и \( \vec{A_1D_1} = \vec{AD} \), а в параллелограмме \( ABCD \) \( \vec{AD} = \vec{BC} \), то \( \vec{A_1D_1} = \vec{BC} \). Значит, \( \vec{A_1D_1} + \vec{C_1B} = \vec{BC} - \vec{BC} = \vec{0} \).

Таким образом, выражение упрощается до:

\( = \vec{B_1D_1} + \vec{0} = \vec{B_1D_1} \)

Ответ: \( \vec{B_1D_1} \).