1. Аксиома параллельных прямых. Следствия. 2. Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке А. Найдите ∠NAM, если ∠N = 84°, а ∠M = 42°. 3. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 72°. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите величину угла АМС. 4. Укажите номера верных утверждений: 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 60°, то эти две прямые параллельны. 2) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше суммы длин его катетов. 3) Через любые две точки можно провести прямую.

Билет 5

1. Аксиома параллельных прямых. Следствия.

Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Следствия:

• Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
• Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
• Если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то прямые параллельны.
• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2. Нахождение ∠NAM.

В треугольнике MNP:

∠N = 84°, ∠M = 42°.

Сумма углов треугольника равна 180°:

∠P = 180° - (∠N + ∠M) = 180° - (84° + 42°) = 180° - 126° = 54°.

AM — биссектриса ∠N, AN — биссектриса ∠M (по условию, биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке А).

∠NAM — внешний угол треугольника ANM. Его можно найти как сумму двух углов, не смежных с ним.

Рассмотрим треугольник ANM:

∠NAM = 180° - ∠ANM - ∠AMN

AN — биссектриса ∠N, поэтому ∠ANM = ∠N / 2 = 84° / 2 = 42°.

AM — биссектриса ∠M, поэтому ∠AMN = ∠M / 2 = 42° / 2 = 21°.

∠NAM = 180° - (42° + 21°) = 180° - 63° = 117°.

Ответ: 117°.

3. Нахождение ∠АМС.

В треугольнике ABC:

AB = BC (по условию)

∠B = 72°

Треугольник ABC — равнобедренный.

Углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° - 72°) / 2 = 108° / 2 = 54°.

AM — биссектриса ∠BAC, значит, ∠BAM = ∠MAC = 54° / 2 = 27°.

CM — биссектриса ∠BCA, значит, ∠BCM = ∠MCA = 54° / 2 = 27°.

Рассмотрим треугольник AMC:

∠MAC = 27°

∠MCA = 27°

∠AMC = 180° - (∠MAC + ∠MCA) = 180° - (27° + 27°) = 180° - 54° = 126°.

Ответ: 126°.

4. Верные утверждения:

1) Верно. Если соответственные углы равны 60°, то это означает, что прямые параллельны.

2) Верно. Это следствие неравенства треугольника.

3) Верно. Это одна из аксиом геометрии.

Ответ: 1, 2, 3.